Question

Três ruas se interceptam duas a duas em três pontos. Estas ruas estão representadas pelas equações x – y + 10 = 0, x + 2y – 20 = 0 e x + 5y – 20 = 0. Será construída uma pra- ça na região delimitada pelas retas. Estando o sistema de coordenadas cartesianas em metros, a área desta praça será, em metros quadrados,
a) 85. b) 105. c) 150. d) 75. e) 55.​

Answer 1

Aplicando os conceitos de geometria analítica a área destinada a praça será de 75 m².

Geometria Analítica

Para resolver esta questão vamos aplicar o Operador de Alinhamento de Pontos para determinar a área do triângulo formado pela interseção das retas.

$A_{ABC}=\dfrac{|OCAP|}{2}$

$|OCAP|=\begin{vmatrix}x_A & x_B & x_C&x_A\\y_A&y_B&y_C&y_A\end{vmatrix}\\\\|OCAP|=|(x_A\cdot y_B+x_B\cdot y_C+x_C\cdot y_A)-(x_B\cdot y_A+x_C\cdot y_B+x_A\cdot y_C)|$

Sejam as retas r : x - y + 10 = 0, s : x + 2y -20 = 0 e t : x + 5y - 20 =0 e os pontos A interseção entre r e s, B interseção entre s e t e C interseção entre r e t.

• Coordenadas do ponto A

Na reta $r$ temos que $x = y - 10$, substituindo na equação da reta $s$ teremos:

$x + 2y -20 = 0\\\\y-10 +2y-20=0\\\\3y=30\\\\y=10\Rightarrow x=0\Rightarrow A=(0,10)$

• Coordenadas do ponto B

Na reta $s$ temos que $x = -2y +20$, substituindo na equação da reta $t$ teremos:

$x + 5y -20 = 0\\\\-2y+20+5y-20=0\\\\3y=0\\\\y=0\Rightarrow x=20\Rightarrow B=(20,0)$

• Coordenadas do ponto C

Na reta $r$ temos que $x = y-10$, substituindo na equação da reta $t$ teremos:

$x + 5y -20 = 0\\\\y-10+5y-20=0\\\\6y=30\\\\y=5\Rightarrow x=-5\Rightarrow C=(-5,5)$

Calculamos agora a área do triângulo ABC.

$|OCAP|=\begin{vmatrix}0 & 20 & -5&0\\10&0&5&10\end{vmatrix}\\\\|OCAP|=|(0\cdot 0+20\cdot 5+(-5)\cdot 10)-(20\cdot 10+(-5)\cdot 0+0\cdot 5)|\\\\|OCAP|=|100-50-200|\\\\|OCAP|=|100-50-200|=150\\\\A_{ABC}=\dfrac{|OCAP|}{2}\\\\A_{ABC}=\dfrac{150}{2}=75 \ m^2$

Para saber mais sobre Geometria Analítica acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/40452178

#SPJ1