Question

Três partículas carregadas encontram-se ao longo do eixo x. A partícula com carga q1= + 15uC está em x = 2 m, enquanto a partícula com carga q2 = + 6uC está na origem do eixo x. Onde deve ser colocada no eixo x uma terceira partícula com carga negativa q3 de forma que a intensidade da força resultante sobre ela seja nula?

Answer 1

A carga q3 é negativa então a força que ele causa nas outros cargas é de atração.

Para a resultante sobre q3 seja nula as foras F(1,3) e F(2,3) Terão que ser iguais :

$\displaystyle \frac{\text k.\text q_1.\text q_3}{\text x^2 } = \frac{\text k.\text q_2.\text q_3 }{(2+\text x)^2 } \\\\\\ \frac{\text q_1}{\text x^2 }=\frac{\text q_2}{(2+\text x)^2 } \\\\\\ \frac{15.\mu\text C}{\text x^2} = \frac{6\mu\text C}{(\text 2+\text x)^2}\\\\\\ \frac{(2+\text x)^2}{\text x^2} = \frac{6\mu\text C}{15 \mu.\text C} \\\\\\\ \frac{(2+\text x)^2}{\text x^2} = \frac{2}{5 }$

agora vamos tirar a raiz quadrada dos dois lados ( sai em módulo )

$\displaystyle \frac{2+\text x}{\text x} =\frac{\sqrt 2 }{\sqrt5} \ \ \ \ \ \ \ \text{ou} \ \ \ \ \ \ \frac{2+\text x}{\text x} = -\frac{\sqrt2}{\sqrt5}$

Sinal positivo :

$\displaystyle \frac{2+\text x}{\text x} = \frac{\sqrt2}{\sqrt5}.\frac{\sqrt5}{\sqrt5} \\\\\\ \frac{2+\text x}{\text x} = \frac{\sqrt{10}}{5} \\\\\\ 10+5\text x=\text x.\sqrt{10} \\\\\\ \text x(\sqrt{10}-5)= 10 \\\\\\ \text x = \frac{10}{(\sqrt{10}-5)}.\frac{(\sqrt{10}+5)}{(\sqrt{10}+5)} \\\\\\ \text x=\frac{10(\sqrt{10}+5)}{10-25} \\\\\\ \text x = \frac{10(\sqrt{10}+5)}{-15} \\\\\\ \text x = \frac{-2(\sqrt{10}+5)}{3} \to \text x \approx -5,44 \ \text m$

sinal negativo :

$\displaystyle \frac{2+\text x}{\text x} = \frac{-\sqrt2}{\sqrt5}.\frac{\sqrt5}{\sqrt5} \\\\\\ \frac{2+\text x}{\text x} = \frac{-\sqrt{10}}{5} \\\\\\ 10+5\text x=-\text x.\sqrt{10} \\\\\\ \text x(\sqrt{10}+5)= 10 \\\\\\ \text x = \frac{10}{(\sqrt{10}+5)}.\frac{(\sqrt{10}-5)}{(\sqrt{10}-5)} \\\\\\ \text x=\frac{10(\sqrt{10}-5)}{10-25} \\\\\\ \text x = \frac{10(\sqrt{10}-5)}{-15} \\\\\\ \text x = \frac{-2(\sqrt{10}-5)}{3} \\\\\\ \text x = \frac{2.(5-\sqrt{10})}{3} \to \text x \approx 1,22\ \text m$

Soluções :

$\huge\boxed{\text x = \frac{-2(5+\sqrt{10})}{3} \ \text m \ \ ; \ \text x = \frac{2(5-\sqrt{10})}{3} \ \text m} \checkmark$

ou só a aproximação :

$\huge\boxed{\text x \approx -5,44 \ \text m \ \ ; \ \ \text x \approx 1,22 \ \text m}\checkmark$