Matemática, perguntado por NandaSouzah, 7 meses atrás

Três números reais estão em progressão aritmética (PA). Se o produto dos três é -10 e a soma deles é 6, então a razão dessa PA vale:
A) 2 ou -2 B) 3 ou -3 C) 4. D) 5

ddvc80ozqt8z: Vamos considerar que esses números são os números x, y e z, se eles estão em progressão aritmética, então y = x +r e z = y +r

ddvc80ozqt8z: Ou seja, teremos os números x, x +r e x+2.r, onde r é a razão dessa progressão

ddvc80ozqt8z: Se a soma desses números é 6, então: x +(x+r) +(x+2r) = 6 -> 3x+3r = 6 -> x +r = 2

ddvc80ozqt8z: Se o produto dos três é -10, então: x*(x+r)*(x+2r) = -10 -> x*(x²+3xr+2r²) = -10 -> x³ +3x²r+2xr² = -10

ddvc80ozqt8z: Sabemos que x +r = 2, então r = 2 -x, substituindo o valor de r na outra equação:

ddvc80ozqt8z: x³ +3x²r +2xr² = -10 -> x³ +3x²*(2-x) +2x*(2-x)² = -10 -> x³ +6x² -3x³ +2x*(4-4x+x²) = -10 -> -2x³ +6x² +8x -8x² +2x³ = -10 -> -2x² +8x = -10 -> 2x² -8x -10 = 0 -> x² -4x -5 = 0 -> (x-5)*(x+1) = 0

ddvc80ozqt8z: 5 e -1 são os valores que x pode admitir para que essa igualdade seja verdadeira (já que se x for qualquer um deles irá zerar toda a equação)

ddvc80ozqt8z: Substituindo x por 5 e -1 em x +r = 2 -> (x=5) 5 +r = 2 -> r = -3 // (x=-1) -1 +r= 2 -> r = 3

ddvc80ozqt8z: Logo, r poderia ser -3 ou 3

Soluções para a tarefa

Respondido por Helvio

$\large\text{$A ~raz\tilde{a}o ~da ~PA ~ \Rightarrow ~ r = 3 ~ou ~r =- 3$}$

$\large\text{$Letra ~b) ~3 ~ou ~ -3 $}$

$\Large\text{$ Progress\tilde{a}o ~Aritm\acute{e}tica $}$

O produto dos três é -10 e a soma deles é 6, então a razão dessa PA vale:

$x - r + x + x + r = 6\\\\ 3x = 6\\\\ x = 6 / 3 \\\\ x = 2$

Encontrar a razão da PA

$( x - r ) . x . ( x + r ) = -10\\\\ ( 2 - r ) . 2 . ( 2 + r ) = -10\\\\ 4 - r^2 = -10 / 2\\\\ 4 - r^2 = -5\\\\ - r^2 = -5 - 4 \\\\ - r^2 = -9 ~~. ~ ( -1 )\\\\ r = \pm \sqrt{9}\\\\ r = 3\\\\ou \\\\r = - 3$