Question

três números, que estão en P.G , tem soma 105 e produto 27000. Determine os números 

Answer 1

$P.G(a_{1},a_{2},a_{3})$

$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 105$
$a_{1} + (a_{1}*q) + (a_{1}*q^{2})=105$

Colocando a1 em evidência:

$a_{1}(1 + q + q^{2}) = 105$
__________

$a_{1}*a_{2}*a_{3}=27000$
$a_{1}*(a_{1}*q)*(a_{1}*q^{2})=27*1000$
$a_{1}*a_{1}*q*a_{1}*q^{2} = 3^{3}*10^{3}$
$(a_{1})^{3}*q^{3}=(3*10)^{3}$
$(a_{1})^{3}*q^{3}=30^{3}$

Aplicando raiz cúbica em todos os membros da equação:

$\sqrt[3]{(a_{1})^{3}}* \sqrt[3]{q^{3}} = \sqrt[3]{30^{3}}$
$a_{1}*q = 30$
__________

$\left \{ {{a_{1}(1 + q + q^{2}) = 105} \atop {a_{1}*q = 30}} \right.$

Dividindo uma pela outra:

$a_{1}(1+q+q^{2})/(a_{1}*q) = 105/30$
$(1+q+q^{2})/q = 7/2$
$2*(1+q+q^{2})=7*q$
$2 + 2q + 2q^{2} = 7q$
$2q^{2} + 2q - 7q + 2 = 0$
$2q^{2} - 5q + 2 = 0$

$D = b^{2} - 4*a*c$
$D = (-5)^{2}-4*2*2$
$D = 25 - 16$
$D = 9$

$q = (- b +- \sqrt{D})/(2a)$
$q = (-(-5) +- \sqrt{9})/(2*2)$
$q = (5 +- 3) / 4$

$q' = (5 + 3) / 4$
$q' = 8/4$
$q' = 2$

No caso, só uma razão já basta, pois a outra (q'') seria o inverso de q (q'' = 1/2), o que resultaria em uma P.G com os mesmos números, mas invertida. Como o que importa são os números e não a ordem deles, vamos considerar q = 2

$a_{1}*q=30$
$a_{1}*2=30$
$a_{1}=30/2$
$a_{1}=15$

$a_{1} = 15$
$a_{2} = a_{1}*q = 30$
$a_{3} = a_{2}*q => 30*2 => 60$