Question

Três números estão em PG crescente e a sua soma é 248. Calcule-os, sabendo que a diferença dos extremos é 192.

Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\begin{cases}\mathsf{a_1 + a_2 + a_3 = 248}\\\mathsf{a_3 - a_1 = 192}\end{cases}$

$\mathsf{a_1 + a_2 + (192 + a_1) = 248}$

$\mathsf{2a_1 + a_2 = 56}$

$\mathsf{2a_1 + a_1.q = 56}$

$\mathsf{a_1(2 + q) = 56}$

$\mathsf{a_1 = \dfrac{56}{2 + q}}$

$\mathsf{\dfrac{56}{2 + q} + \dfrac{56.q}{2 + q} + \dfrac{56.q^2}{2 + q} = 248}$

$\mathsf{56 +56.q + 56.q^2 = 496 + 248.q}$

$\mathsf{56q^2 - 192q - 440 = 0}$

$\mathsf{7q^2 - 24q - 55 = 0}$

$\mathsf{\Delta = b^2 - 4.a.c}$

$\mathsf{\Delta = (-24)^2 - 4.7.(-55)}$

$\mathsf{\Delta = 576 + 1.540}$

$\mathsf{\Delta = 2.116}$

$\mathsf{q = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{24 \pm \sqrt{2.116}}{14} \rightarrow \begin{cases}\mathsf{q' = \dfrac{24 + 46}{14} = \dfrac{70}{14} = 5}\\\\\mathsf{q'' = \dfrac{24 - 46}{14} = -\dfrac{22}{14} = -\dfrac{11}{7}}\end{cases}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{q = 5}}}\rightarrow\textsf{PG crescente}$

$\mathsf{a_1.q^2 - a_1 = 192}$

$\mathsf{a_1.(5)^2 - a_1 = 192}$

$\mathsf{25a_1 - a_1 = 192}$

$\mathsf{24a_1 = 192}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{a_1 = 8}}}$

$\mathsf{a_2 = a_1.q}$

$\mathsf{a_2 = 8.5}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{a_2 = 40}}}$

$\mathsf{a_3 = a_2.q}$

$\mathsf{a_3 = 40.5}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{a_3 = 200}}}$