Question

Tres numeros estao em PG crescente, de tal forma que a soma deles é 130 e o produto entre eles 27000.? 

Answer 1

Olá Amanda,

chamando os três números genericamente da P.G. de:

$\left( \dfrac{x}{q},x,xq\right)$

Então, pelo produto dos três números, temos que:

$\dfrac{x}{\not q} \cdot x\cdot x\not q=27.000\\\\ x^3=27.000\\ x= \sqrt[3]{27.000}\\\\ x=30$

A soma, usando x encontrado no produto:

$\dfrac{x}{q}+x+xq=130\\\\ \dfrac{30}{q}+30+30q=130$

Multiplicando tudo por (q), teremos:

$30+30q+30q^2=130q\\ 30q^2+30q-130q+30=0\\ 30q^2-100q+30=0~~~~~~\div~~~~~~2\\ 15q^2-50q+15=0$

$\Delta=b^2-4ac\\ \Delta=(-50)^2-4\cdot 15\cdot 15\\ \Delta=2.500-900\\ \Delta=1.600\\\\ q= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}= \dfrac{-(-50)\pm \sqrt{1.600} }{2\cdot 15}= \dfrac{50\pm40}{30}\begin{cases}q'= \dfrac{50-40}{30}=\dfrac{1}{3}\\\\ q''= \dfrac{50+40}{30}=3 \end{cases}$

Para q=1/3, sendo x=30, a P.G. será:

$\boxed{P.G.=(90,30,10)}~~(decrescente)$

Para q=3, sendo x=30, a P.G. será:

$\boxed{P.G.=(10,30,90)}~~(crescente)$

Portanto, os números em progressão geométrica são 10, 30 e 90 .

Tenha ótimos estudos =))

Answer 2

Os três números são 10, 30 e 90.

Vamos considerar que os três números são a₁, a₂ e a₃.

O termo geral de uma progressão geométrica é definido por aₙ = a₁.qⁿ⁻¹, sendo:

• a₁ = primeiro termo
• n = quantidade de termos
• q = razão.

Então, podemos dizer que a sequência é igual a (a₁, a₁.q, a₁.q²).

Temos a informação de que a soma dos três números é igual a 130. Logo:

a₁ + a₁.q + a₁.q² = 130

a₁(1 + q + q²) = 130.

Além disso, o produto entre os três números é igual a 27000. Sendo assim:

a₁.a₁.q.a₁.q² = 27000

a₁³.q³ = 27000

(a₁.q)³ = 27000

a₁.q = 30.

De a₁.q = 30 podemos dizer que a₁ = 30/q. Substituindo o valor de a₁ na equação a₁(1 + q + q²) = 130:

(30/q).(1 + q + q²) = 130

30(1 + q + q²) = 130q

30 + 30q + 30q² = 130q

30q² - 100q + 30 = 0.

Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos dois valores para q: 1/3 e 3.

Como a progressão geométrica é crescente, então q = 3.

Assim, o valor do primeiro termo é:

a₁.3 = 30

a₁ = 10.

Portanto, a progressão geométrica é (10, 30, 90).

Exercício sobre progressão geométrica: https://brainly.com.br/tarefa/17887775