Question

tres numeros estão em PG

Answer 1

Vamos chamar esses três números de x, y e z.

Sabe-se que a soma desses três números é 105:

x + y + z = 105 (I)

Sabe-se também que o produto entre eles é 8000:

xyz = 8000 (II)

Além disso, esses três números formam uma PG (x, y, z…). Portanto, a razão entre um termo qualquer e o termo anterior resultará sempre no mesmo valor:

y/x = z/y

y² = xz (III)

Na equação (II), temos:

xyz = 8000

xz = 8000/y

Substituindo esse valor de xz na equação (III), temos:

y² = xz

y² = 8000/y

y³ = 8000

y = ∛8000

y = 20

Portanto, um dos números é 20. Vamos substituir esse valor de y nas equações acima para encontrar os próximos números:

Na equação (I), temos:

x + z = 85 (IV)

Na equação (II):

xyz = 8000

x.20.z = 8000

xz = 400 (V)

Agora, resolvemos o sistema formado pelas equações (IV) e (V).

Isolando z em (IV):

x + z = 85 => z = 85 - x

Substituindo esse valor de z em (V):

xz = 400

x(85 - x) = 400

85 - x² = 400

-x² + 85x - 400 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau:

Δ = b² - 4ac

Δ = 85² - 4.(-1).(-400)

Δ = 7225 - 1600

Δ = 5625

x = (-b ± √Δ)/(2a)

x = (-85 ± √5625)/[2.(-1)]

x = (-85 ± 75)/(-2)

$x_1$ = (-85 + 75)/(-2) = -10/-2 = 5

$x_2$ = (-85 - 75)/(-2) = -160/-2 = 80

Logo, os possíveis valores de x são 5 e 80.

Se escolhermos x = 5, teremos na equação (IV):

x + z = 85

5 + z = 85

z = 85 - 5

z = 80

E aí os três números seriam 5, 20 e 80.

Se escolhermos x = 80, teremos:

x + z = 85

80 + z = 85

z = 85 - 80

z = 5

Ou seja, os números continuam sendo 5, 20 e 80. Portanto, teoricamente, tanto faz escolher x = 5 ou x = 80. Porém, se considerarmos que a PG (x, y, z…) é crescente, então x é o menor número, ou seja, x = 5 e z = 80. Então, temos:

x = 5

y = 20

z = 80

Esses números formam uma PG (5, 20, 80…) de razão r = 80/20 = 20/5 = 4. Além disso, a soma deles é 105 e o produto entre eles é 8000.