Question

Três números cuja soma é 24 formam uma PA. Adicionando aos três termos os números , 3,2 e 6 respectivamente obtém-se três números que formam uma PG. Quais são os números em PA? Quais são os números em PG?

Answer 1

A Progressão Aritmética pode ser (2,8,14) ou (17,8,-1) e a Progressão Geométrica pode ser (5,10,20) ou (20,10,5).

Vamos considerar que a Progressão Aritmética é (x - r, x, x + r).

Como a soma dos três números é igual a 24, então:

x - r + x + x + r = 24

3x = 24

x = 8.

Logo, a P.A. é (8 - r, 8, 8 + r).

A Progressão Geométrica é da forma (x - r + 3, x + 2, x + r + 6).

Como x = 8, então a sequência é (11 - r, 10, 14 + r).

Além disso, podemos afirmar que:

10/(11 - r) = (14 + r)/10

10.10 = (11 - r)(14 + r)

100 = 154 + 11r - 14r - r²

r² + 3r - 54 = 0

(r - 6)(r + 9) = 0.

Assim, temos duas opções:

Se r = 6, a Progressão Aritmética é (2,8,14) e a Progressão Geométrica é (5,10,20);

Se r = -9, a Progressão Aritmética é (17,8,-1) e a Progressão Geométrica é (20,10,5).