Question

Três números, a, b e c, apresentam as se-
guintes somas
a + b + c = 1
a²+ b² + c² = 49
Qual é o valor de ab + ac + bc?​

Answer 1

Solução

Note que temos 3 variáveis e 2 equações, logo não vamos conseguir encontrar os valores de a, b e c separadamente

Para esse tipo de questão é mais seguro conhecer alguma fatoração ou produto notável para poder encontrar o que foi pedido, e por sorte há um produto notável chamado de quadrado da soma de 3 termos que é dado por

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$

Do enunciado temos que $a+b+c=1$ e $a^2+b^2+c^2=49$, substituindo no nosso produto notável segue que

$(\overbrace{a+b+c}^1)^2=\overbrace{a^2+b^2+c^2}^{49}+2(ab+bc+ac)\\\\\\1^2=49+2(ab+bc+ac)\\\\\\1=49+2(ab+bc+ac)\\\\\\1-49=2(ab+ac+bc)\\\\\\-48=2(ab+bc+ac)\\\\\\2(ab+bc+ac)=-48\\\\\\ab+bc+ac=\dfrac{-48}{2}\\\\\\\boxed{\boxed{ab+bc+ac=-24}}$