Question

Três empresas devem devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio cada trabalho será artribuido a uma única empresa e todas elas devem ser contadas de quantas menineiras distintas podem ser distribuído os trabalhos

Answer 1

Nomearemos as empresas como A, B  e C

Para qualquer das empresas:

$C^4_2 = \dfrac{4!}{2!(4 - 2)!} \\ \\ \\ C^4_2 = \dfrac{4!}{2!.2!} \\ \\ \\ C^4_2 = \dfrac{4.3.\not2!}{\not 2!.2!} \\ \\ \\ C^4_2 = \dfrac{12}{2} \\ \\ \\ C^4_2 = 6 \ maneiras$

Temos 6 maneiras de escolher entre as empresas pois uma terá que realizar 2 trabalhos.

Restando 2 trabalhos para distribuir entre duas empresas restantes:

Temos que considerar que 2  trabalhos será realizados por 3 empresas:
E um total de 3 empresas para fazer 1 trabalho restante:


C = 2 * 3 *  6 = 36 maneiras

Answer 2

Resposta:

36 maneiras

Explicação passo-a-passo:

.

=> Temos 4 trabalhos ..e apenas 3 empresas ..e a restrição de TODAS serem contratadas

...isso implica que uma das empresas vai executar 2 trabalhos e as outras 2 vão receber apenas um trabalho cada uma

Note que:

=> Não há distinção dos trabalhos (são idênticos) ..logo a "ordem" não é importante

=> Não há distinção das empresas ..logo a "ordem" não é importante

...isto implica uma situação de Combinação Simples

assim temos

--> Para a 1ª empresa (seja ela qual for) temos o número de possibilidades dado por C(4,2)

--> Para a 2ª empresa (seja ela qual for) temos o número de possibilidades dado por C(2,1)

--> Para a 3ª empresa (seja ela qual for) temos o número de possibilidades dado por C(1,,1) ...dado que tem de ficar com o trabalho restante

...mas como são 3 empresas temos de saber quantos "grupos de 2" empresas podemos formar ..donde resulta C(3,2) ..note que a 3ª empresa fica sempre com o trabalho restante.

O número (N) de maneiras de distribuir os 4 trabalhos pelas 3 empresas será dado por:

N = C(3,2) . [C(4,2) . C(2,1) . C(1,1)]

N = (3!/2!(3-2)!) . [4!/2!(4-2)! . 2!/1!(2-1)! . (1)]

N = (3.2!/2!1!) . [4.3.2!/2!2! . 2!/1!1! . (1)]

N = (3) . [4.3/2! . (2) . (1)]

N = (3) . [(6) . (2) . (1)]

N = 3 . 12

N = 36 maneiras

Espero ter ajudado