Question

Três diferentes sistemas planeta-estrela, que estão distantes um do outro, são mostrados acima. As massas dos planetas são muito menores do que as massas das estrelas.
No Sistema A, o planeta A de massa Mp orbita a estrela A de massa Ms em uma órbita circular de raio R.

No Sistema B, o planeta B de massa 4Mp orbita a estrela B de massa Ms em uma órbita circular de raio R.

No Sistema C, o Planeta C de massa Mp orbita a Estrela C de massa 4Ms em uma órbita circular de raio R.
(a) A força gravitacional exercida no planeta A pela estrela A tem uma magnitude de F0. Determine as magnitudes das forças gravitacionais exercidas no Sistema B e no Sistema C.

___ Magnitude da força gravitacional exercida no Planeta B pela Estrela B

___ Magnitude da força gravitacional exercida no Planeta C pela Estrela C
(b) Como as velocidades tangenciais dos planetas B e C se comparam às do planeta A? Em uma resposta de comprimento de parágrafo clara e coerente que também pode conter equações e/ou desenhos, forneça reivindicações sobre

porque a velocidade tangencial do Planeta B é maior, menor ou igual à do Planeta A, e
porque a velocidade tangencial do planeta C é maior, menor ou igual à do planeta A.​

Answer 1

a) A magnitude da força gravitacional entre dois objetos é dada pela fórmula:

$F = G \frac {m_1 m_2} {r ^ 2}$

Onde G é a constante gravitacional, m1, m2 são as massas dos 2 objetos e r é a separação entre os objetos

Para o sistema planeta A - Estrela A, temos:

$\begin{gathered}m_1 = M_p\\m_2 = M_s\\r=R\end{gathered}$

Então a força é:

$F=G\frac{M_p M_s}{R^2}=F_0$

Para o sistema planeta B - Estrela B, temos:

$\begin{gathered}m_1 = 4 M_p\\m_2 = M_s\\r=R\end{gathered}$

Então a força é:

$F=G\frac{4M_p M_s}{R^2}=4F_0$

Portanto, a magnitude da força gravitacional exercida no planeta B pela estrela B é 4F0.

Para o sistema planeta C - Estrela C, temos:

$\begin{gathered}m_1 = M_p\\m_2 = 4M_s\\r=R\end{gathered}$

Então a força é:

$F=G\frac{M_p (4M_s)}{R^2}=4F_0$

Portanto, a magnitude da força gravitacional exercida no planeta C pela estrela C é 4F0.

b) A força gravitacional no planeta orbitando ao redor da estrela é igual à força centrípeta, portanto, podemos escrever:

$G\frac{mM}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$

Onde:

m é a massa do planeta

M é a massa da estrela

v é a velocidade tangencial

Podemos reorganizar a equação resolvendo v, e encontramos uma expressão para a velocidade:

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

Para o Sistema A:

$\begin{gathered}M=M_s\\r=R\end{gathered}$

Portanto, a velocidade tangencial é:

$v_A=\sqrt{\frac{GM_s}{R}}$

Para o sistema B:

$\begin{gathered}M=M_s\\r=R\end{gathered}$

Portanto, a velocidade tangencial é:

$v_B=\sqrt{\frac{GM_s}{R}}=v_A$

Portanto, a velocidade do planeta B é a mesma do planeta A.

Para o sistema C:

$\begin{gathered}M=4M_s\\r=R\end{gathered}$

Portanto, a velocidade tangencial é:

$v_C=\sqrt{\frac{G(4M_s)}{R}}=2(\sqrt{\frac{GM_s}{R}})=2v_A$

Portanto, a velocidade do planeta C é duas vezes a velocidade do planeta A.

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