Question

Três circunferências de raio r estão dispostas no interior de outra circunferência de raio R, conforme a figura a seguir. Qual o valor da razão K=R/r?

Explica por favor

Answer 1

Boa tarde!

Unindo os 3 centros das circunferências internas obtemos um triângulo equilátero de lado 2r.
A altura h deste triângulo mede:
$h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\\h=\dfrac{2r\sqrt{3}}{2}\\h=r\sqrt{3}$

A dimensão 'x' mede 2/3 da altura, já que o segmento que une o centro do triângulo com o ponto médio de um dos lados (apótema) mede 1/3 da altura. Daí:
$R=r+x\\=r+\dfrac{2}{3}\cdot h\\=r+\dfrac{2}{3}\cdot r\sqrt{3}\\=\dfrac{3r+2r\sqrt{3}}{3}$

Pede-se:
$k=\dfrac{R}{r}\\k=\dfrac{\dfrac{3r+2r\sqrt{3}}{3}}{r}\\k=\dfrac{3+2\sqrt{3}}{3}$

Espero ter ajudado!

Answer 2

O valor da razão k = R/r é (2√3 + 3)/3.

Veja que ao ligarmos os centros das circunferências, obtemos um triângulo equilátero de lado 2r.

Observe que o raio da circunferência maior, de acordo com a figura abaixo, é igual a R = x + r.

O segmento x equivale a 2/3 da altura do triângulo equilátero de lado 2r.

A altura de um triângulo equilátero é definida por $h=\frac{l\sqrt{3}}{2}$.

Sendo assim, temos que o segmento x é igual a:

x = (2/3)(2r√3/2)

x = 2r√3/3.

Assim, a medida do raio da circunferência maior é igual a:

R = 2r√3/3 + r

R = (2r√3 + 3r)/3

R = r(2√3 + 3)/3.

Agora, precisamos calcular a razão R/r. Como R conseguimos colocar r em evidência, então podemos concluir que a razão R/r é igual a (2√3 + 3)/3.

Alternativa correta: letra c).

Para mais informações sobre circunferência: https://brainly.com.br/tarefa/18779485