Question

TrÊs cargas puuntifomes estão dispostas ao longo do eixo x. A carga q1=+3 uC está na origem e a caga q2= -5 uC está em x=0,200 m. A carga q3= -8 uC. Onde q3 estará localizado quando a força resultante sobre q1 for 7 N no sentido -x ?

Answer 1

Dados do enunciado:

Cargas puntiformes:

• $q_1=+3\mathrm{~\mu C}=+3\cdot 10^{-6}\mathrm{~C};$

• $q_2=-5\mathrm{~\mu C}=-5\cdot 10^{-6}\mathrm{~C};$

• $q_3=-8\mathrm{~\mu C}=-8\cdot 10^{-6}\mathrm{~C}.$


Posição (abscissa) da carga $q_2:$

• $x_2=0,\!200\mathrm{~m}=2,\!00\cdot 10^{-1}\mathrm{~m}.$


Constante eletrostática de Coulomb:

• $k=9,\!0\cdot 10^9 \mathrm{~N\cdot m^2/C^2}.$

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Seja $x_3$ a abscissa que representa a posição em que a carga $q_3$ deve ser localizada, de forma que

a força elétrica resultante sobre a carga $q_1$ seja $-7\mahrm{~N}$

( o sinal negativo é referente à orientação dos eixos, ok ? )


Vamos fazer uma breve análise.

$\bullet\;\;$ A carga $q_1$ é positiva;


$\bullet\;\;$ A carga $q_2$ é negativa e está localizada à direita de $q_1.$ Portanto, a força $\overrightarrow{\mathbf{F}}_{21}$ sobre $q_1$ está orientada para a direita ( sentido positivo do eixo $x$ ), já que a força entre cargas de sinais opostos é de atração.


$\bullet\;\;$ A carga $q_3$ é também é positiva. Mas onde será que $q_3$ deve ser colocada? À direita ou à esquerda de $q_1?$


Queremos que a força resultante sobre $q_1$ esteja orientada para a esquerda (sentido negativo do eixo $x$). Como $q_1$ e $q_3$ têm sinais opostos, a força entre eles é de atração. Logo, concluímos que devemos posicionar a carga $q_3$ à esquerda de $q_!.$

Isto significa que a abscissa $x_3$ da carga $q_3$ é menor que zero, pois está à esquerda da origem.

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Fazendo a força resultante sobre $q_1,$ e usando a Lei de Coulomb, devemos ter

$F_{21}-F_{31}=-7\mathrm{~N}\\\\ k\cdot \dfrac{|q_1|\cdot |q_2|}{(x_2)^2}-k\cdot \dfrac{|q_1|\cdot |q_3|}{(x_3)^2}=-7\\\\\\ k\cdot |q_1|\cdot \left( \dfrac{|q_2|}{(x_2)^2}-\dfrac{|q_3|}{(x_3)^2} \right )=-7\\\\\\ \dfrac{|q_2|}{(x_2)^2}-\dfrac{|q_3|}{(x_3)^2}=-\,\dfrac{7}{k\cdot |q_1|}$


Substituindo os valores conhecidos e resolvendo a equação acima para $x_3:$

$\dfrac{5\cdot 10^{-6}}{(2,\!00\cdot 10^{-1})^2}-\dfrac{8\cdot 10^{-6}}{(x_3)^2}=-\,\dfrac{7}{(9,\!0\cdot 10^9)\cdot (3\cdot 10^{-6})}\\\\\\ \dfrac{5\cdot 10^{-6}}{4\cdot 10^{-2}}-\dfrac{8\cdot 10^{-6}}{(x_3)^2}=-\,\dfrac{7}{27\cdot 10^{9-6}}\\\\\\ \dfrac{5}{4}\cdot 10^{-6+2}-\dfrac{8\cdot 10^{-6}}{(x_3)^2}=-\,\dfrac{7}{27\cdot 10^3}\\\\\\ \dfrac{5\cdot 10^{-4}}{4}+\,\dfrac{7}{27\cdot 10^3}=\dfrac{8\cdot 10^{-6}}{(x_3)^2}$

$\dfrac{5\cdot 10^{-4}}{4}+\,\dfrac{7}{27\cdot 10^3}=\dfrac{8\cdot 10^{-6}}{(x_3)^2}\\\\\\ \dfrac{(27\cdot 10^3)\cdot 5\cdot 10^{-4}}{108\cdot 10^3}+\dfrac{4\cdot 7}{108\cdot 10^3}=\dfrac{8\cdot 10^{-6}}{(x_3)^2}\\\\\\ \dfrac{135\cdot 10^{3-4}}{108\cdot 10^3}+\dfrac{28}{108\cdot 10^3}=\dfrac{8\cdot 10^{-6}}{(x_3)^2}\\\\\\ \dfrac{135\cdot 10^{-1}+28}{108\cdot 10^3}=\dfrac{8\cdot 10^{-6}}{(x_3)^2}\\\\\\ \dfrac{135\cdot 10^{-1}+280\cdot 10^{-1}}{108\cdot 10^3}=\dfrac{8\cdot 10^{-6}}{(x_3)^2}\\\\\\ \dfrac{(135+280)\cdot 10^{-1}}{108\cdot 10^3}=\dfrac{8\cdot 10^{-6}}{(x_3)^2}$

$\dfrac{415\cdot 10^{-1}}{108\cdot 10^3}=\dfrac{8\cdot 10^{-6}}{(x_3)^2}\\\\\\ 415\cdot 10^{-1}\cdot (x_3)^2=(108\cdot 10^3)\cdot (8\cdot 10^{-6})\\\\ (x_3)^2=\dfrac{(108\cdot 10^3)\cdot (8\cdot 10^{-6})}{415\cdot 10^{-1}}\\\\\\ (x_3)^2=\dfrac{108\cdot 8}{415}\cdot \dfrac{10^{3}\cdot 10^{-6}}{10^{-1}}\\\\\\ (x_3)^2=\dfrac{864}{415}\cdot 10^{3-6-(-1)}\\\\\\ (x_3)^2=\dfrac{864}{415}\cdot 10^{-2}\\\\\\ (x_3)^2=\dfrac{864\cdot 415}{415^2}\cdot 10^{-2}$


Como $q_3$ está à esquerda da origem, nos interessa a raiz negativa desta equação:

$x_3=-\,\sqrt{\dfrac{864\cdot 415}{415^2}\cdot 10^{-2}}\\\\\\ x_3=-\,\sqrt{\dfrac{864\cdot 415\cdot 10^{-2}}{415^2}}\\\\\\ x_3=-\,\sqrt{\dfrac{(2^2\cdot 3\cdot 10^{-1})^2\cdot 6\cdot 415}{415^2}}\\\\\\ x_3=-\,\dfrac{(2^2\cdot 3\cdot 10^{-1})\cdot \sqrt{6\cdot 415}}{415}\\\\\\ x_3=-\,\dfrac{(12\cdot 10^{-1})\cdot \sqrt{2\,490}}{415}\\\\\\ x_3=-\,\dfrac{1,\!2\cdot \sqrt{2\,490}}{415}\begin{array}{c}^{\times 5}\\^{\times 5} \end{array}\\\\\\ x_3=-\,\dfrac{6\sqrt{2\,490}}{2\,075}\mathrm{~m}\approx \boxed{\begin{array}{c}-0,\!144\mathrm{~m} \end{array}}$


A carga $q_3$ deverá estar localizada a $0,\!144\mathrm{~m}$ à esquerda da origem.


Bons estudos! :-)