Question

Três cargas de 1,0 µC cada, estão localizadas em três vértices A, B, C de um triângulo equilátero com lados de 2 cm cada. Uma carga de prova q é localizada no ponto médio do lado BC. Calcule q para que a força resultante na carga em A devido às cargas em B, C e D seja zero. ​

Answer 1

Resposta:

A carga q vale $\mathbf{-1{,}299 \times 10^{-6}\;C \approx -1{,}3\;\mu C}$

Explicação:

A imagem anexa mostra as forças agindo no vértice A.

Por ela, podemos ver que o módulo da força devido à carga q deve igual à soma dos módulos das componentes verticais das forças devidas às cargas nos pontos B e C.

$F_q=F_{Cy}+F_{By}$

Como as cargas nos pontos B e C são iguais, podemos simplificar para

$F_q=F_{Cy}+F_{Cy}\\\\F_q=2\;.\;F_{Cy}\\\\F_q=2\;.\;F_{C}\;.\;\sin 60^{\circ}\\\\F_q=2\;.\;F_{C}\;.\;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\F_q=F_{C}\;.\;\sqrt{3}$

Da equação da força elétrica, temos

$F_C=k_o\;.\;\dfrac{Q_C\;.\;Q_A}{d_{CA}^2}\\\\\\F_C=9 \times 10^9\;.\;\dfrac{1 \times 10^{-6}\;.\;1 \times 10^{-6}}{(2 \times 10^{-2})^2}}\\\\\\F_C=9 \times 10^9\;.\;\dfrac{1 \times 10^{-12}}{4 \times 10^{-4}}\\\\\\F_C=\dfrac{9 \times 10^{(9-12)}}{4 \times 10^{-4}}\\\\\\F_C=\dfrac{9 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-4}}\\\\\\F_C=\dfrac{9}{4} \times 10^{[-3-(-4)]}\\\\\\F_C=2{,}25 \times 10^{(-3+4)}\\\\\\F_C=2{,}25 \times 10^1\\\\\\F_C=22{,}5\;N$

A distância DA é igual à altura do triângulo equilátero, ou seja

$d_{DA}=\dfrac{lado\;.\;\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2\;.\;\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\;cm$

Portanto,

$F_q=k_o\;.\;\dfrac{Q_A\;.\;q}{d_{DA}^2}\\\\\\F_C\;.\;\sqrt{3}=9 \times 10^9\;.\;\dfrac{1 \times 10^{-6}\;.\;q}{(\sqrt{3} \times 10^{-2})^2}\\\\\\22{,}5\;.\;\sqrt{3}=9 \times 10^9\;.\;\dfrac{1 \times 10^{-6}\;.\;q}{3 \times 10^{-4}}\\\\\\22{,}5\;.\;\sqrt{3}=\dfrac{9 \times 10^{(9-6)}\;.\;q}{3 \times 10^{-4}}\\\\\\22{,}5\;.\;\sqrt{3}=\dfrac{9 \times 10^{3}\;.\;q}{3 \times 10^{-4}}\\\\\\22{,}5\;.\;\sqrt{3}=\dfrac{(9\;.\;q)}{3} \times 10^{[3-(-4)]}\\\\\\22{,}5\;.\;\sqrt{3}=3\;.\;q \times 10^{(3+4)}$

$22{,}5\;.\;\sqrt{3}=3\;.\;q \times 10^7\\\\\\q \times 10^7=\dfrac{22{,}5\;.\;\sqrt{3}}{3}\\\\\\q \times 10^7=7{,}5\;.\;\sqrt{3}\\\\\\q \times 10^7=12{,}99\\\\\\q=\dfrac{12{,}99}{1 \times 10^7}\\\\\\q=\dfrac{1{,}299 \times 10^1}{1 \times 10^7}\\\\\\q=1{,}299 \times 10^{(1-7)}\\\\\\q=1{,}299 \times 10^{-6}\;C \approx 1{,}3\;\mu C$

Como o sentido da força $\mathbf{F_q}$ deve ser o contrário do sentido das componentes verticais das forças $\mathbf{F_B}$ e $\mathbf{F_C}$, a carga q deve ser negativa.

Logo,

$\boxed{q=-1{,}299 \times 10^{-6}\;C \approx -1{,}3\;\mu C}$