Question

Três atletas A, B, C estão em competição. A e B tem a mesma chance de vencer e cada um tem duas vezes mais chances de vencer C. Pretende-se saber a probabilidade que cada atleta tem de vencer.

Answer 1

Olá vaniamate2002,

Na matemática calculamos a chance de um evento(e) pela probabilidade($P_e$) do mesmo ocorrer dividido pela probabilidade de não ocorrer($1-P_e$):

$C_e=\frac{P_e}{1-P_e}$

Vamos analisar as relações relatadas pela questão:

• 1ª| A e B tem a mesma chance de vencer:

Se A e B tem a mesma chance de vencer(Vamos chamar de $C_{ab}$) isto também significa que eles tem a mesma probabilidade de vencer(Vamos chamar de $P_{ab}$).

• 2ª| A e B tem 2 vezes mais chances de vencer C:

Isto significa que $C_{ab}$ é 2 vezes maior que a chance de C(Vamos chamar de $C_c$):

$C_{ab}=2C_c$

• 3ª| Como se 1 vencer os outros 2 perdem, então a soma de probabilidades sempre será igual a 1, porque a soma de vitórias individuais igualmente não pode ser maior que as vitórias totais:

$P_a+P_b+P_c=1$

Resolução:

Na 2ª relação, vimos que:

$C_{ab}=2C_c$

Aplicando o que foi dito no início:

$\frac{P_{ab}}{1-P_{ab}} = 2\frac{P_c}{1-P_c}$

Simplificando até chegar em termos únicos:

$\frac{1-P_{ab}}{P_{ab}} = \frac{1-P_c}{2P_c}\\\frac{2-2P_{ab}}{P_{ab}} = \frac{1-P_c}{P_c}\\\frac{2}{P_{ab}}-2 = \frac{1}{P_c}-1\\\frac{2}{P_{ab}}-1 = \frac{1}{P_c}$

Substituindo $P_c$ utilizando a 1ª e 3ª relação:

$P_a+P_b+P_c=1\\2P_{ab}+P_c=1\\P_c=1-2P_{ab}\\\frac{2}{P_{ab}}-1 = \frac{1}{P_c}\\\frac{2}{P_{ab}}-1 = \frac{1}{1-2P_{ab}}$

Multiplicando até chegar em uma fórmula quadrática:

$\frac{2}{P_{ab}}-1 = \frac{1}{1-2P_{ab}}\\(1-2P_{ab})(\frac{2}{P_{ab}}-1) = 1\\\frac{2}{P_{ab}}-1-2P_{ab}(\frac{2}{P_{ab}}-1) = 1\\\frac{2}{P_{ab}}-1-2P_{ab}\frac{2}{P_{ab}}+2P_{ab} = 1\\\frac{2}{P_{ab}}-1-2.2+2P_{ab} -1=0\\\frac{2}{P_{ab}}+2P_{ab} -6=0\\2+2P_{ab}^2 -6P_{ab}=0\\2P_{ab}^2 -6P_{ab}+2=0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara para encontrar $P_{ab}$:

$2P_{ab}^2 -6P_{ab}+2=0\\a=2, b=-6, c=2\\\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\\frac{6 \pm \sqrt{36-4.2.2} }{2.2} \\\frac{6 \pm \sqrt{36-16} }{4} \\\frac{6 \pm \sqrt{20} }{4} \\\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{20}}{4}\\\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{20}{16}}\\\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}}\\\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Para as 2 soluções, apenas a que subtrai nos dá um resultado verdadeiro, pois a probabilidade tem de ser menor do que 1:

$P_{ab}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\\P_a=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\\P_b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

Agora pra achar a probabilidade do atleta C, utilizamos a 3ª relação:

$2P_{ab}+P_c=1\\P_c=1-2P_{ab}\\P_c=1-2\frac{3-\sqrt{5}}{2} \\P_c=1-3+\sqrt{5}\\P_c=\sqrt{5}-2$

Então a resposta final é:

Probabilidade do atleta A vencer:

$\frac{3-\sqrt{5}}{2}\\\text{Em decimal:}\\\approx 0,38$

Probabilidade do atleta B vencer:

$\frac{3-\sqrt{5}}{2}\\\text{Em decimal:}\\\approx 0,38$

Probabilidade do atleta C vencer:

$\sqrt{5}-2\\\text{Em decimal:}\\\approx 0,23$