Question

(Treinamento para Olimpíada Colombiana) ABC é um triângulo. D é um ponto do lado BC tal que BD = 2 e DC = 1.Sabendo que: ∠ACD = 45º e ∠ADB = 60º. A medida, em graus, do ângulo ABˆ C é
a) 55
b) 60
c) 70
d) 75
e) 90

Answer 1

A medida do ângulo ABC no triângulo analisado é de 75,6º.

Como calcular a medida do lado AC?

A medida do lado AC pode ser calculada aplicando o teorema do seno, conhecendo a medida do segmento DC:

$\frac{DC}{sen(\delta)}=\frac{AC}{sen(\beta)}$

O ângulo $\beta$ é suplementar do ângulo de 60º, portanto, tem-se $\beta=180\º-60\º=120\º$

O ângulo $\delta$ pode ser calculado aplicando o teorema dos ângulos internos no triângulo ADC:

$\delta=180\º-45\º-120\º=15\º$

Então, a medida do lado AC é:

$AC=DC\frac{sen(\beta)}{sen(\delta)}=1.\frac{sen(120\º)}{sen(15\º)}=3,35$

Como calcular a medida do lado AB?

Tendo a medida dos lados AC e BC (BD+DC=2+1=3) e o ângulo que eles formam (45º), é possível aplicar o teorema do cosseno para achar a medida do lado AB:

$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}-2.AC.BC.cos(45\º)}=\sqrt{3,35^{2}+3^{2}-2.3,35.3.cos(45\º)}\\\\AB=2,45$

Como calcular a medida do ângulo ABC?

Aplicando o teorema do seno, é possível achar a medida do ângulo ABC:

$\frac{AC}{sen(\alpha)}=\frac{AB}{sen(45\º)}\\\\sen(\alpha)=\frac{AC}{AB}.sen(45\º)=\frac{3,35}{2,45}.sen(45\º)=0,968\\\\\alpha=sen^{-1}(0,968)= 75,6\º$

Saiba mais sobre o teorema do cosseno e o teorema do seno em https://brainly.com.br/tarefa/1420367