Question

Transforme os decimais infinitos periódicos em fração:
a) 0,41111 ...
b) 8,1333...
c) 5,1777...
d) 2,31444...

Answer 1

a) 0,41111 ...

X = 0,4111... ×10

10x=4,111...
- x = 0,411...
---------------------
9x = 3,7

X = 3,7/9
X = 37/90

b) 8,1333...

X = 8,133... × 10

10x=81,333...
- x = ...8,133...
----------------------
9x = 73,2

X = 73,2/9
X = 732/90

c) 5,1777...

X = 5,177... × 10

10x=51,777...
- x = ..5,177...
----------------------
9x = 46,6

X = 46,6/9
X = 466/90

d) 2,31444...

X = 2,3144... × 10

10x=23,1444...
- x = ...2,3144...
----------------------
9x = 20,83

X = 20,83/9
X = 2083/900

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Selgomez, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar as equações geratrizes das dízimas periódicas abaixo transcritas:

a) 0,411111.....
b) 8,133333...
c) 5,17777....
d) 2,3144444...

ii) Antes de iniciar veja que há um método prático e seguro para encontrar equações geratrizes de quaisquer que venham a ser as dízimas periódicas. Esse método se resume no seguinte: iguala-se a dízima periódica a um certo "x". Depois multiplica-se esse "x" por uma (ou mais) potências de 10, capazes de, após algumas operacionalizações, fazermos desaparecer o período (o período em dízimas periódicas é aquela parte que se repete indefinidamente. Daí o nome: dízima periódica).
Então vamos fazer exatamente isso para cada uma das dízimas periódicas listadas na sua questão.

a) 0,41111... ---- vamos igualá-la a "x", ficando:

x = 0,41111.... ---- vamos multiplicar "x" por "100" e depois por "10", ficando assim:

100*x = 100*0,41111....
100x = 41,11111.....

Agora multiplicaremos "x' por "10", ficando:

10*x = 10*0,411111......
10x = 4,111111....

Agora subtrairemos "10x" de "100x" e você vai ver que teremos feito desaparecer o período:

100x = 41,111111..
- 10x = - 4,111111.....
------------------------ subtraindo membro a membro, temos;
90x = 37,00000 ----ou apenas (veja que desapareceu o período):
90x = 37
x = 37/90 <--- Esta é a resposta para o item "a". Ou seja, esta é a equação geratriz da dízima periódica 0,411111......

b) x = 8,13333........ multiplicando-se por "100", teremos:

100*x = 100*8,133333...
100x = 813,33333....

Multiplicando-se "x" por "10", teremos:

10*x = 10*8,133333...
10x = 81,33333....

Agora subtrairemos "10x" de "100x", ficando:

100x = 813,33333.....
- 10x = - 81,33333....
---------------------------- subtraindo membro a membro, temos:
90x = 732,00000 --- ou apenas (veja que desapareceu o período):
90x = 732
x = 732/90 ----- simplificando-se numerador e denominador por "6", temos:
x = 122/15 <--- Esta é a resposta para o item "b". Ou seja, esta é a equação geratriz da dízima periódica 8,133333....

c) x = 5,177777..... --- multiplicando-se por "100", teremos;

100*x = 100*5,17777....
100x =517,77777....

Multiplicando-se "x" por "10", teremos:

10*x = 10*5,177777...
10x = 51,77777.....

Agora subtrairemos "10x" de "100x", ficando:

100x = 517,7777...
- 10x = - 51,7777.....
-------------------------- subtraindo-se membro a membro, temos:
90x = 466,0000 ---- ou apenas (veja que o período desapareceu):
90x = 466
x = 466/90 ---- simplificando-se numerador e denominador por "2", temos:
x = 233/45 <--- Esta é a resposta para o item "c". Ou seja, esta é a fração geratriz da dízima periódica 5,177777.....

d) x = 2,3144444.... multiplicando-se por "1.000", teremos:

1.000*x =1.000*2,3144444...
1.000x = 2.314,444444.......

Multiplicando-se "x" por "100", teremos:

100*x = 100*2,3144444...
100x = 231,44444......

Agora subtrairemos "100x" de "1.000x", ficando:

1.000x = 2.314,444444...
.- 100x =. - 231,444444....
--------------------------------------- subtraindo membro a membro, temos:
900x = 2.083,0000.... --- ou apenas (veja que o período desapareceu):
900x = 2.083
x = 2.083/900 <--- Esta é a resposta para o item "d". Ou seja, esta é a equação geratriz da dízima periódica 2,31444444....

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.