Question

Transforme em produto a expressão sen 65º + sen 25º

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre funções trigonométricas.

Considere a seguinte soma:

$\sin(a)+\sin(b)$

Então, considere $a=x+y$ e $b=x-y$.

Substituindo estes valores, teremos:

$\sin(x+y)+\sin(x-y)$

Utilize as fórmulas de soma e diferença de arcos para a função seno: $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x)$ e $\sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\sin(y)\cos(x)$.

$\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x)+\sin(x)\cos(y)-\sin(y)\cos(x)$

Some os termos semelhantes e cancele os termos opostos

$2\sin(x)\cos(y)$

Então, perceba que $x=\dfrac{a+b}{2}$ e $y=\dfrac{a-b}{2}$, logo teremos:

$\boxed{\bold{\sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)}}$

Assim, seja a soma:

$\sin(65\º) + \sin(25\º)$

Substituindo $a=65\°$ e $b=25\°$ na fórmula de soma para produto, teremos:

$2\sin\left(\dfrac{65\°+25\°}{2}\right)\cos\left(\dfrac{65\°-25\°}{2}\right)$

Some os valores e simplifique as frações

$2\sin\left(\dfrac{90\°}{2}\right)\cos\left(\dfrac{40\º}{2}\right)\\\\\\ 2\sin(45\°)\cos(20\°)$

Este é o resultado que buscávamos.