Question

Transforme em produto a expressão abaixo:

y = cos (a) + cos (3a) + cos (5a) + cos (9a)

Answer 1

Vamos lá.

Slade, como você não forneceu ainda as opções da questão, então vamos tentar resolvê-la,aplicando-se a fórmula de transformação de soma em produto.

y = cos(a) + cos(3a) + cos(5a) + cos(9a) ----- veja: como na soma, a ordem das parcelas não altera o resultado, então poderemos fazer assim:

y = cos(a)+cos(9a) + cos(3a)+cos(5a)

Agora note que: cos(a+b) = 2cos[(a+b)/2]*cos[(a-b)/2].
Assim, aplicando a fórmula acima para cada soma de dois termos, ou seja, aplicando a fórmula de transformação em produto para "cos(a)+cos(9a)" e para  "cos(3a)+cos(5a)", teremos:

y = 2cos[(a+9a)/2]*cos[(a-9a)/2] + 2cos[(3a+5a)/2]*cos[(3a-5a)/2]
y = 2cos(10a/2)*cos(-8a/2) + 2cos(8a/2)*cos(-2a/2)
y = 2cos(5a)*cos(-4a) + 2cos(4a)*cos(-a)

Agora veja que: cos(-4a) = cos(4a) e cos(-a) = cos(a). Assim, substituindo:

y = 2cos(5a)*cos(4a) + 2cos(4a)*cos(a) ----- vamos colocar 2cos(4a) em evidência, ficando:

y = 2cos(4a)*[cos(5a) + cos(a)]

Agora note: vamos também aplicar a transformação em produto da soma que está dentro dos colchetes. Assim teremos:

y = 2cos(4a)*[2cos[(5a+a)/2]*cos[(5a-a)/2]
y = 2cos(4a)*[2cos(6a/2)*cos(4a/2)]
y = 2cos(4a)*[2cos(3a)*cos(2a)] ---- passando o "2" para antes de 2cos(4a), ficaremos:

y = 2*2cos(4a)*[cos(3a)*cos(2a)]
y = 4cos(4a)*[cos(3a)*cos(2a) ----- como a ordem dos fatores não altera o produto, então poderemos expressar da seguinte forma:

y = 4cos(2a)*cos(3a)*cos(4a) <--- Esta seria uma possível resposta.

Observação: como não foram fornecidas opções, então o resultado acima é uma possível resposta para a questão original [y = cos(a)+cos(3a)+cos(5a)+cos(9a)].
Por isso é que é importante, sempre que possível, que as opções sejam fornecidas, para que o respondedor possa orientar a sua resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.