Question

Transforme, conforme o caso a forma geral da equação da circunferência em reduzida (ou vice-versa).

a) X(2) + y(2) + 4x -4y - 17 =0 (o "(2)" siginifica ao quadrado)

b) (x+3)ao quadrado + (y-1) ao quadrado = 16

c) x ao quadrado + y ao quadrado +12x - 4y - 9 = 0

d) (x-5) ao quadrado + (y-4) ao quadrado = 1

Answer 1

a)  Primeiro separe os termos de x e os termos de y:

$x^2 + 4x + y^2 - 4y - 17 = 0$

Precisamos encontrar produtos notáveis, da forma:

$(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 \quad e \quad (y - b)^2 = y^2 - 2by + b^2$

Mas nós sabemos, a partir da equação dada que:

$-2ax = 4x \rightarrow a = \frac{4}{-2} = -2$

e:

$-2by = -4y \rightarrow b = \frac{-4}{-2} = 2$

Ou seja, já sabemos as coordenadas do centro da circunferência. Resta descobrir o raio. Sabendo que:

$(x - (-2))^2 = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \quad e \quad (y - 2)^2 = y^2 -4y + 4$

Falta o 4 para completar o primeiro produto notável e mais 4 para completar o 2°. Mas nós temos -17. Então precisamos somar e subtrair 8 (4 + 4) na mesma expressão, porque isso é o mesmo que somar 0 (não altera o significado da equação):

$x^2 + 4x + y^2 - 4y - 17 + (8 - 8)= 0\\x^2 + 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 - 17 - 8)= 0$

Fechando os produtos notáveis:

$(x - (-2))^2 + (y - 2)^2 = 17 + 8$

Mas, a equação reduzida da circunferência nos dá:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Deste modo, o raio vale $\sqrt[2]{17 + 8} = \sqrt[2]{25} = 5$

A equação reduzida é:

$(x+2)^2 + (y-2)^2 = 5^2$

b) Nesta questão basta expandir os produtos notáveis:

$(x+3)^2 + (y-1)^2 = 16 \rightarrow (x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1) - 16 = 0 \rightarrow x^2 + y^2 + 6x - 2y = 6$

c) Mesma coisa da letra a)

$x^2 + 12x + y^2 - 4y - 9 = 0 \rightarrow -2a = 12 \rightarrow a = -6 \\ -2b = -4 \rightarrow b = 2 \\ (x - (-6))^2 = (x + 6)^2 = x^2 + 12 + 36 \\ (y - 2)^2 = y^2 - 4y + 4$

Então falta 36 para completar o primeiro produto notável e 4 para completar o segundo: 36 + 4 = 40. Precisamos somar e subtrair 40 na expressão:

$x^2 + 12x + y^2 - 4y - 9 + 40 - 40 = 0\\(x + 6)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt[2]{49})^2\\(x + 6)^2 + (y - 2)^2 = 7^2$

d)Mesma coisa da b). Expande os produtos notáveis:

$(x-5)^2 + (y-4)^2 = 1 \rightarrow (x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 8y + 16) = 1\\ x^2 + y^2 - 10x - 8y = 1 - 41 = -40$