Transforme as dizimas periódicas em frações geratrizes:
a) 0,1212...
b) 0,444....
Soluções para a tarefa
Resposta:
A transformação de dízimas periódicas em fração geratriz dessa questão é :
A ) \begin{gathered}\\ 0,222...\ \ =\ \boxed{ \dfrac{2}{9} }\end{gathered}
0,222... =
9
2
B ) \begin{gathered}\\ 0, 444 ...\ = \ \boxed{ \dfrac{4}{9} }\end{gathered}
0,444... =
9
4
C ) \begin{gathered}\\ 0,555...\ \ =\ \boxed{ \dfrac{5}{9} }\end{gathered}
0,555... =
9
5
D ) \begin{gathered}\\ 0,999 ...\ \ =\ \ \boxed{ 1}\end{gathered}
0,999... =
1
Agora vamos falar sobre :
Dízimas Periódicas
Dízima periódica é o resultado decimal não exato da divisão de uma fração .
Ex ;
\begin{gathered}\\ \dfrac{1}{3} \ \ =\ 1\ \div\ 3\ =\ 0,333...\end{gathered}
3
1
= 1 ÷ 3 = 0,333...
\begin{gathered}\\ \dfrac{11}{7} \ =\ 11\ \div\ 7\ =\ 1,5714 ...\end{gathered}
7
11
= 11 ÷ 7 = 1,5714...
As dízimas se classificam em :
→ Simples : Quando os números se repetem igualmente depois da vírgula.
Ex : \begin{gathered}\\ 0, 888 ...\end{gathered}
0,888...
, \begin{gathered}\\ 0,52525252 ...\end{gathered}
0,52525252...
→ Composta : Quando os números se repetem igualmente MAIS os que não se repetem depois da vírgula.
Ex : \begin{gathered}\\ 5, 8739999...\end{gathered}
5,8739999...
, \begin{gathered}\\ 13, 024872222...\end{gathered}
13,024872222...
RESOLUÇÃO :
Existem dois modos para a transformação de dízimas periódicas em fração geratriz ( fração que gera a dízima ).
1° modo
Sistema de equação
A ) \begin{gathered}\\ 0,222...\end{gathered}
0,222...
\begin{gathered}\\ 0,222... \\x \ =\ 0,222 \\10\ x\ =\ 2,222\end{gathered}
0,222...
x = 0,222
10 x = 2,222
\begin{gathered}\\ 10\ x\ -\ x\ =\ 2,222\ -\ 0,222\end{gathered}
10 x − x = 2,222 − 0,222
\begin{gathered}\\ 9\ x\ =\ 2\end{gathered}
9 x = 2
\begin{gathered}\\ x\ =\ \boxed{ \boxed{ \dfrac{2}{9} }}\end{gathered}
x =
9
2
B ) \begin{gathered}\\ 0, 444...\end{gathered}
0,444...
\begin{gathered}\\ x\ =\ 0, 444... \\10\ x =\ 4,444...\\\\10\ x\ -\ x\ =\ 4,444\ -\ 0, 444\end{gathered}
x = 0,444...
10 x= 4,444...
10 x − x = 4,444 − 0,444
\begin{gathered}\\ 9\ x\ =\ 4\end{gathered}
9 x = 4
\begin{gathered}\\ x\ =\ \boxed{ \boxed{ \dfrac{4}{9} }}\end{gathered}
x =
9
4
C ) \begin{gathered}\\ 0,555...\end{gathered}
0,555...
\begin{gathered}\\ x\ =\ 0,555... \\10\ x\ =\ 5,555 \\10\ x\ -\ x\ =\ 5,555\ -\ 0, 555\end{gathered}
x = 0,555...
10 x = 5,555
10 x − x = 5,555 − 0,555
\begin{gathered}\\ 9\ x\ =\ 5\end{gathered}
9 x = 5
\begin{gathered}\\ x\ =\ \ \boxed{ \boxed{ \dfrac{5}{9} }}\end{gathered}
x =
9
5
D ) \begin{gathered}\\ 0, 999 ...\end{gathered}
0,999...
\begin{gathered}\\ x\ =\ 0, 999...\\10\ x\ =\ 9, 999\\10\ x\ -\ x\ =\ 9, 999\ -\ 0, 999\\9\ x =\ 9\end{gathered}
x = 0,999...
10 x = 9,999
10 x − x = 9,999 − 0,999
9 x= 9
\begin{gathered}\\ x\ =\ \dfrac{9}{9}\end{gathered}
x =
9
9
\begin{gathered}\\ x\ =\ \boxed{ \boxed{ 1 }}\end{gathered}
x =
1
2° Modo
Modo prático
⇒ Por definição matemática, usamos no numerador ( o de cima ) o número do período ( número que se repete ) e usamos o algarismo 9 para cada algarismo diferente no denominador da fração geratriz.
Assim temos :
A ) \begin{gathered}\\ 0, 222...\end{gathered}
0,222...
→ apenas o número 2 se repete
\begin{gathered}\\ 0, 222... \ =\ \boxed{ \dfrac{2}{9} }\end{gathered}
0,222... =
9
2
B ) \begin{gathered}\\ 0, 444...\end{gathered}
0,444...
→ apenas o número 4 se repete
\begin{gathered}\\ \\ 0, 444... \ =\ \boxed{ \dfrac{4}{9} }\end{gathered}
0,444... =
9
4
C ) \begin{gathered}\\ 0, 555 ...\end{gathered}
0,555...
→ apenas o número 5 se repete
\begin{gathered}\\ 0, 555... \ =\ \boxed{ \dfrac{5}{9} }\end{gathered}
0,555... =
9
5
D ) \begin{gathered}\\ 0, 999...\end{gathered}
0,999...
→ apenas o número 9 se repete
\begin{gathered}\\ 0, 999 ... \ =\ \dfrac{9}{9} \ =\ \boxed{ 1 }\end{gathered}
0,999... =
9
9
=
1
Notas adicionais :
Que tal darmos exemplos de modo prático com mais períodos ??
E x :
\begin{gathered}\\ 0, 51515151 ...\end{gathered}
0,51515151...
→ os número 5 e 1 se repetem então 2 períodos, ou seja , um 9 para cada período.
Assim temos :
\begin{gathered}\\ 0, 515151... \ =\ \boxed{ \dfrac{51}{99} }\end{gathered}
0,515151... =
99
51
\begin{gathered}\\ 0, 123123...\end{gathered}
0,123123...
→ os números 1,2 e 3 se repetem, então 3 períodos , ou seja, um 9 para cada um.
\begin{gathered}\\ 0, 123123...\ =\ \boxed{ \dfrac{123}{999}}\end{gathered}
0,123123... =
999
123
⇒ Lembrando que :
O uso desse modo prático é para as dízimas simples