Question

Transformando em produto a seguinte soma y= cos 9x + cos5x obtém-se.

Answer 1

Para transformar de soma para produto, precisamos usar a adição e subtração de arcos. 

Dados:
Fórmula de adição de cossenos: $cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sen(a)*sen(b)$
Fórmula de subtração de cossenos: $cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sen(a)*sen(b)$

Bem, podemos observar que, nas fórmulas anteriores, podemos cancelar o seno da 1a com o seno da 2a, já que têm sinais opostos. Para isso, precisamos apenas que a e b sejam iguais. Usando esse conhecimento na questão em si, vamos resolver esse sistema:

$cos(9x) = cos (ax+bx)$
$cos(5x)=cos(ax-bx)$

$9 = a +b$
$5 = a - b$

$a = 7$
$b=2$

Agora, substituindo nas fórmulas:

$cos(9x) = cos(7x+2x)$
$cos(7x+2x)=cos(7x)*cos(2x)-sen(7x)*sen(2x)$

$cos(5x) = cos(7x-2x)$
$cos(7x-2x)=cos(7x)*cos(2x)+sen(7x)*sen(2x)$

Juntando as duas, cancelamos os senos e temos:
$cos(7x+2x)+cos(7x-2x)=2*cos(7x)*cos(2x)$

$cos(9x)+cos(5x)=2*cos(7x)*cos(2x)$

A explicação talvez tenha sido um pouco difícil de entender, qualquer dúvida pode perguntar.