Question

Transformando a expressão sen 35º + sen 15º em produto, encontramos;

A) sen 35º.sen 15º
B) sen 25º.sen 10º
C) 2.cos 25º.cos 10º
D) 2.sen 25º.sen 10º
E) 2.sen 25º.cos 10º

Answer 1

Vamos utilizar a relação para o seno da soma e seno da diferença de dois arcos.

$sen(a+b)~=~sen(a)\cdot cos(b)~+~sen(b)\cdot cos(a)\\\\sen(a-b)~=~sen(a)\cdot cos(b)~-~sen(b)\cdot cos(a)$

Perceba que podemos reescrever o arco de 35° como a soma dos arcos de 25° e 10°, já o arco de 15° pode ser reescrito como a diferença dos arcos de 25 e 10°.

$sen(35^\circ)~=~sen(25^\circ+10^\circ)~=~\boxed{sen(25^\circ)\cdot cos(10^\circ)~+~sen(10^\circ)\cdot cos(25^\circ)}\\\\\\sen(15^\circ)~=~sen(25^\circ-10^\circ)~=~\boxed{sen(25^\circ)\cdot cos(10^\circ)~-~sen(10^\circ)\cdot cos(25^\circ)}$

Somando sen(35°)+sen(15°) teremos:

$sen(35^\circ)+sen(15^\circ)~=\left\Big{[}~sen(25^\circ)\cdot cos(10^\circ)~+~sen(10^\circ)\cdot cos(25^\circ)~\right]~+\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left\Big{[}~sen(25^\circ)\cdot cos(10^\circ)~-~sen(10^\circ)\cdot cos(25^\circ)~\right]\\\\\\\\sen(35^\circ)+sen(15^\circ)~=~sen(25^\circ)\cdot cos(10^\circ)~+~sen(25^\circ)\cdot cos(10^\circ)\\\\\\\boxed{sen(35^\circ)+sen(15^\circ)~=~2\cdot sen(25^\circ)\cdot cos(10^\circ)}~~\rightarrow~~Letra~E$