Question

Transformada de Laplace, do Problema de Valor Inicial (PVI) y'+3y=13.sen(2t), sujeito à condição inicial y(0)=6.

Answer 1

Fazendo os cálculos e lembrando as propriedades básicas das transformadas de Laplace, concluímos que a solução da equação diferencial é:

$\boxed{\bold{\displaystyle y= -2\cos(2t)+3\sin(2t)+8e^{-3t}}}$

• Temos a seguinte equação diferencial:

$\boxed{\displaystyle y'+3y = 13\sin(3t) }$

O problema só admitirá um método com o qual vamos resolver esta equação diferencial, o método aceito será o método da transformada de Laplace, que consistirá em aplicar a transformada de Laplace a ambas as partes da equação diferencial.

Se aplicarmos as transformadas de Laplace em nossa variável dependente "y" e também em nossa variável independente "t", obtemos:

$\displaystyle \mathcal{L} \left\{ y' + 3y\right\} =\mathcal{L}\left\{ 13\sin(2t) \right \}\\\\ \displaystyle \mathcal{L} \left\{ y'\right\} +\mathcal{L} \left\{ 3y\right\} =13\mathcal{L}\left\{ \sin(2t) \right \}\\ \\ \displaystyle \mathcal{L} \left\{ y'\right\} +3\mathcal{L} \left\{ y\right\} =13\mathcal{L}\left\{ \sin(2t) \right \}$

Para realizar as transformadas de Laplace de toda essa equação diferencial, usaremos os seguintes valores da transformada de Laplace:

$\boxed{\displaystyle \mathcal{L} \left\{ y\right \} = Y(s)}\\ \\ \boxed{\displaystyle \mathcal{L} \left\{ y'\right \} = s Y(s) - y(0)}\\ \\ \boxed{\displaystyle\mathcal{L}\left\{\sin (at)\right\} = \dfrac{a}{s^2 +a^2} }$

• Substituindo esses valores da transformada de Laplace, deve-se obter:

$\displaystyle s Y(s) - y(0) + 3Y(s) =13 \cdot \dfrac{2}{s^2+2^2}\\ \\ \displaystyle s Y(s) - y(0) + 3Y(s) =13 \cdot \dfrac{2}{s^2+4}\\ \\ \displaystyle s Y(s) - y(0) + 3Y(s) =\dfrac{26}{s^2+4}$

Antes de continuar a resolução é aconselhável aplicar o valor inicial dado pela equação diferencial.

$\displaystyle s Y(s) - 6 + 3Y(s) = \dfrac{26}{s^2+4}$

Vamos fatorar nossa expressão para a variável complexa Y(s):

$\displaystyle (s +3)Y(s) - 6 = \dfrac{26}{s^2+4}$

• Como nos preocupamos com a solução da equação diferencial para y, podemos isolar Y(s):

$\displaystyle (s +3)Y(s) = \dfrac{26}{s^2+4}+6$

$\displaystyle Y(s) =\dfrac{ \dfrac{26}{s^2+4}}{s+3}+\dfrac{6}{s+3}$

$\displaystyle Y(s) = \dfrac{26}{(s^2+4)\cdot(s+3)}+\dfrac{6}{s+3}$

Simplificamos a primeira fração aplicando frações parciais, se aplicarmos o método das frações parciais com a primeira equação devemos obter uma operação igual a:

$\displaystyle \dfrac{26}{(s^2+4)(s+3)}= \dfrac{B s +A}{s^2+4} + \dfrac{C}{s+3}\\ \\ \displaystyle 26 = (s^2+4)(s+3) \cdot\left[\dfrac{B s + A}{s^2+4} +\dfrac{C}{s+3}\right]\\ \\ \displaystyle 26 =(B s + A)(s+3) + C(s^2+4)$

• Onde simplesmente A, B e C são constantes que podem ser calculadas encontrando um valor para s. Se substituirmos s por - 3, obtemos:

$\displaystyle 26 = (B (-3) + A)(-3+3) + C(-3^2 + 4)\\ \\ \displaystyle 26=(-3 B + A)(0) +C (9+3)\\\\ \displaystyle 26 = 13C\\ \\ \boxed{\displaystyle 2= C}$

Vamos alterar o valor de s para 0 para obter:

$\displaystyle 26 = (B (0) + A)(0+3) + 2(0^2 + 4)\\ \\ \displaystyle 26=(A)(3) +8\\\\ \displaystyle 26-8 = 3A\\ \\ 18=3A \\ \\ \boxed{\displaystyle 6= A}$

• Vamos alterar o valor de s para 1:

$\displaystyle 26 = (B (1) + 6)(1+3) + 2(1^2 + 4)\\ \\ \displaystyle 26=(B+6)(4) +10\\\\ \displaystyle 26-10 = (B+6)(4)\\ \\ 16=(B+6)(4) \\\\\ 4 = B+6 \\\\\boxed{\displaystyle -2= B}$

• Podemos substituir na fração parcial.

$\displaystyle \dfrac{26}{(s^2+4)(s+3)} = \dfrac{-2 s +6}{s^2+4} + \dfrac{2}{s+3}$

Substituindo na equação diferencial:

$\displaystyle Y(s) = -\dfrac{2 s +6}{s^2+4} + \dfrac{2}{s+3}+\dfrac{6}{s+3}$

$\displaystyle Y(s) = -\dfrac{2 s }{s^2+4} +\dfrac{6}{s^2+4}+ \dfrac{8}{s+3}$

Nós aplicamos a transformada inversa de Laplace para obter a solução para y.

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s) \right\}= -\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2 s }{s^2+4} \right\}+\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{6}{s^2+4}\right\}+ \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{8}{s+3}\right\}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s) \right\}= -2\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s }{s^2+4} \right\}+6\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s^2+4}\right\}+8\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s+3}\right\}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s) \right\}= -2\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s }{s^2+2^2} \right\}+6\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{s^2+2^2}\right\}+8\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s+3}\right\}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s) \right\}= -2\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s }{s^2+2^2} \right\}+3\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2}{s^2+2^2}\right\}+8\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s+3}\right\}$

• Agora aplicando a transformada inversa de Laplace de uma vez por todas e obtemos:

$\boxed{\bold{\displaystyle y= -2\cos(2t)+3\sin(2t)+8e^{-3t}}}$

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