Question

TRABALHO PARA SER ENTREGUE:
Para cada função quadrática abaixo, é necessário que determine:
- os coeficientes da função;
- se a concavidade é voltada para cima ou se a concavidade é voltada para baixo;
- os zeros da função, se existirem;
- o estudo do sinal da função.
a) f(x) = x² - 2x -3
b) f(x) = -x² + 5x -6
c) f(x) = x² - 6x + 9

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

a) $\sf f(x)=x^2-2x-3$

• Os coeficientes da função

$\sf f(x)=x^2-2x-3$

$\sf \Rightarrow~f(x)=ax^2+bx+c$

$\sf \Rightarrow~\red{a=1},~\red{b=-2},~\red{c=-3}$

• Concavidade

A concavidade da parábola de uma função quadrática, $\sf f(x)=ax^2+bx+c$, é voltada:

• Para cima, se $\sf a > 0$

• Para baixo, se $\sf a < 0$

Temos $\sf a=1$ e então $\sf a > 0$. A concavidade é voltada para cima.

• Os zeros da função

$\sf x^2-2x-3=0$

$\sf \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)$

$\sf \Delta=4+12$

$\sf \Delta=16$

$\sf x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{16}}{2\cdot1}=\dfrac{2\pm4}{2}$

$\sf x'=\dfrac{2+4}{2}~\Rightarrow~x'=\dfrac{6}{2}~\Rightarrow~\red{x'=3}$

$\sf x"=\dfrac{2-4}{2}~\Rightarrow~x"=\dfrac{-2}{2}~\Rightarrow~\red{x"=-1}$

As raízes dessa função são $\sf 3~e-1$

• Estudo do sinal da função

$\sf f(x) > 0,~se~x < -1~ou~x > 3$

$\sf f(x) < 0,~se-1 < x < 3$

$\sf f(x)=0,~se~x=-1~ou~x=3$

O gráfico está em anexo (em azul)

b) $\sf f(x)=-x^2+5x-6$

• Os coeficientes da função

$\sf f(x)=-x^2+5x-6$

$\sf \Rightarrow~f(x)=ax^2+bx+c$

$\sf \Rightarrow~\red{a=-1},~\red{b=5},~\red{c=-6}$

• Concavidade

A concavidade da parábola de uma função quadrática, $\sf f(x)=ax^2+bx+c$, é voltada:

• Para cima, se $\sf a > 0$

• Para baixo, se $\sf a < 0$

Temos $\sf a=-1$ e então $\sf a < 0$. A concavidade é voltada para baixo.

• Os zeros da função

$\sf -x^2+5x-6=0$

$\sf \Delta=5^2-4\cdot(-1)\cdot(-6)$

$\sf \Delta=25-24$

$\sf \Delta=1$

$\sf x=\dfrac{-5\pm\sqrt{1}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-5\pm1}{-2}$

$\sf x'=\dfrac{-5+1}{-2}~\Rightarrow~x'=\dfrac{-4}{-2}~\Rightarrow~\red{x'=2}$

$\sf x"=\dfrac{-5-1}{-2}~\Rightarrow~x"=\dfrac{-6}{-2}~\Rightarrow~\red{x"=3}$

As raízes dessa função são $\sf 2~e~3$

• Estudo do sinal da função

$\sf f(x) > 0,~se~2 < x < 3$

$\sf f(x) < 0,~se~x < 2~ou~x > 3$

$\sf f(x)=0,~se~x=2~ou~x=3$

O gráfico está em anexo (em vermelho)

c) $\sf f(x)=x^2-6x+9$

• Os coeficientes da função

$\sf f(x)=x^2-6x+9$

$\sf \Rightarrow~f(x)=ax^2+bx+c$

$\sf \Rightarrow~\red{a=1},~\red{b=-6},~\red{c=9}$

• Concavidade

A concavidade da parábola de uma função quadrática, $\sf f(x)=ax^2+bx+c$, é voltada:

• Para cima, se $\sf a > 0$

• Para baixo, se $\sf a < 0$

Temos $\sf a=1$ e então $\sf a > 0$. A concavidade é voltada para cima.

• Os zeros da função

tex]\sf x^2-6x+9=0[/tex]

$\sf \Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot9$

$\sf \Delta=36-36$

$\sf \Delta=0$

$\sf x=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{0}}{2\cdot1}=\dfrac{6\pm0}{2}$

$\sf x'=x"=\dfrac{6}{2}$

$\sf \red{x'=x"=3}$

O zero dessa função é $\sf 3$

• Estudo do sinal da função

$\sf f(x) > 0,~se~x < 3~ou~x > 3$

$\sf f(x)=0,~se~x=3$

O gráfico está em anexo (em verde)