TOPOLOGIA GERAL-MATEMÁTICA
Considere o espaço topológico (Z, τ) onde τ é a topologia de cofinita. Determine se o conjunto de números pares é aberto, fechado e / ou aberto-fechado.
Determine se o conjunto Z-{1,2,3} está aberto, fechado e / ou aberto-fechado.
Determine se o conjunto {−1,0,1} está aberto, fechado e / ou aberto-fechado.
Mostre que qualquer subconjunto não trivial de Z nunca é aberto-fechado.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Olá
Explicação passo-a-passo:
Vamos considerar o conjunto de todos os inteiros pares denotado por P={...,−2,0,2,...}. Logo, P^c é o conjunto dos inteiros ímpares. Portanto, P ∉τ então P não é um aberto. Além disso, temos P^c ∉τ , o que implica que P também não é fechado.
O conjunto Z∖{1,2,3} é um aberto, já que (Z∖{1,2,3})^c={1,2,3} o que é um conjunto finito. Agora, considere o complementar (Z∖{1,2,3})^c={1,2,3}. O complementar deste conjunto é Z∖{1,2,3} que é infinito, então ({1,2,3})^c∉τ. Assim, Z∖{1,2,3} não é fechado.
Vamos, tomar o conjunto {−1,0,1}. Temos ({−1,0,1})^c=Z∖{−1,0,1} que é um conjunto infinito, então {−1,0,1}∉τ o que implica {−1,0,1} não é um conjunto aberto. Analogamente, {−1,0,1} é um conjunto fechado.
Por último, seja A⊆Z, A≠∅ e A≠Z. Suponha que A é aberto-fechado. Segue da definição da topologia cofinita que A^c e A são finitos. Mas Z=A∩A^c o que implica Z finito, o que seria uma contradição. Disso resulta que tal topologia não admite conjuntos abertos-fechados.
Bons estudos.
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
A topologia cofinita diz que se complemetar é finito. Portanto, qualquer conjunto finito não está na topologia cofinita. Isso também implica que não existem conjuntos abertos-fechados na mesma.