Question

Tomando um vértice de um cubo de aresta x e os pontos médios das arestas que a ele concorrem como vértices de um tetraedro, podemos afirmar que a razão entre os volumes do cubo e do tetraedro gerado é igual a

A
8

B
16

C
32

D
48

E
64

Answer 1

A razão entre os volumes do cubo e do tetraedro gerado é igual a 48.

Observe que o tetraedro obtido possuirá como base um triângulo equilátero de lados $\frac{x\sqrt{2}}{2}$ e arestas laterais iguais a $\frac{x}{2}$, como mostra a figura abaixo.

O segmento AB representa a altura do tetraedro.

Para calcular a medida da altura, precisamos o segmento BC.

O segmento BC equivale a 2/3 da medida da altura do triângulo da base. A altura do triângulo da base é igual a $\frac{\frac{x\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}}{2}=\frac{x\sqrt{6}}{4}$.

Logo, $BC = \frac{2}{3}.\frac{x\sqrt{6}}{4}$

$BC=\frac{x\sqrt{6}}{6}$.

Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC:

$(\frac{x}{2})^2=BC^2+(\frac{x\sqrt{6}}{6})^2$

$\frac{x^2}{4}=BC^2 + \frac{x^2}{6}$

$BC=\frac{x}{2\sqrt{3}}$.

O volume do tetraedro é igual a um terço do produto da área da base pela altura.

Assim:

$V=\frac{1}{3}.\frac{(\frac{x\sqrt{2}}{2})^2\sqrt{3}}{4}.\frac{x}{2\sqrt{3}}$

$V=\frac{x^3}{48}$.

O volume do cubo é igual a x³.

Logo, a razão entre o volume do cubo e do tetraedro é igual a $\frac{x^3}{\frac{x^3}{48}}=48$.