Question

Todo número elevado ao cubo, subtraído por ele mesmo = um número divisível por 6. Explique

Answer 1

Para que um número seja múltiplo de 6 é necessário que ele seja par e múltiplo de 3 ao mesmo tempo. Se você analisar x^3 - x, você pode concluir que ele é par para todo x inteiro da seguinte forma: Se x for par, x^3 vai ser par, logo x^3 - x = par - par = PAR; se x for ímpar, x^3 vai ser ímpar, logo x^3 - x = ímpar- ímpar = PAR. Isso é um principio da paridade. Agora, para comprovar que x^3 - x é múltiplo de 3, basta alterar a forma dessa expressão: x^3 - x = x*(x^2 - 1) = x*(x + 1)*(x - 1). Se você analisar com atenção isto é um produto de três números consecutivos (x - 1; x; x + 1), e como em uma sequencia de três números consecutivos, um deles obrigatoriamente é múltiplo de três, o produto inteiro é múltiplo de 3. Assim se comprova que x^3 - x é sempre par e múltiplo de 3, logo é sempre múltiplo de 6 para todo x inteiro