Question

Todas as vezes em que for possível, é de grande interesse na Engenharia linearizar padrões e equações, tornando-os mais simples e mais fáceis para se trabalhar.
Observe as duas retas parametrizadas abaixo:

Sobre elas, afirma-se:

I) As retas são paralelas.
II) As retas são perpendiculares e se interceptam no ponto (- 3, - 7, 5).
III) As retas não se interceptam.
IV) O vetor diretor de “r” é (1, 2, -1) e de “s” é (4, - 2, - 1).

Texto elaborado pelo Professor, 2019.

Estão corretas:

Alternativas
Alternativa 1:
Apenas I e IV.

Alternativa 2:
Apenas II e IV.

Alternativa 3:
Apenas III e IV.

Alternativa 4:
Apenas IV.

Alternativa 5:
Apenas I.

Answer 1

As retas do problema são

$r:\begin{Bmatrix} x=1+t\\y=+2t\\z=1-t\end{matrix}$

$s:\begin{Bmatrix} x=1+4u\\y=2-2u\\z=4-u\end{matrix}$

As afirmativas III e IV estão corretas.

Vamos analisar as equações paramétricas das duas retas dadas no enunciado.

Na reta r, temos que o vetor direção é (1,2,-1) e passa pelo ponto (1,1,1).

Já na reta s, temos que o vetor direção é (4,-2,-1) e passa pelo ponto (1,2,4).

Então, com essas informações, já podemos dizer que a afirmativa IV está correta.

Agora, vamos analisar as outras afirmativas.

Os vetores direção (1,2,-1) e (4,-2,-1) são linearmente independentes, ou seja, não são múltiplos.

Isso significa que as retas r e s são concorrentes ou reversas.

Vamos igualar as duas retas:

{1 + t = 1 + 4u

{1 + 2t = 2 - 2u

{1 - t = 4 - u

Da primeira equação, temos que t = 4u.

Substituindo o valor de t na segunda equação:

1 + 2(4u) = 2 - 2u

1 + 8u = 2 - 2u

10u = 1

u = 1/10.

Logo, t = 4/10.

Substituindo os valores de u e t na terceira equação:

1 - 4/10 = 4 - 1/10

6/10 = 13/10

Isso não é verdade.

Portanto, as retas r e s são reversas.

As afirmativas I e II estão erradas e a afirmativa III está correta.