Todas as n capitais de um país estão interligadas por estradas pavimentadas, de acordo com o seguinte critério: uma única estrada liga cada duas capitais. Com a criação de duas novas capitais, foi necessária a construção de mais 21 estradas pavimentadas para que todas as capitais continuassem ligadas de acordo com o mesmo critério. Determine o número n de capitais, que existiam inicialmente nesse país.
Soluções para a tarefa
Bom dia, usuária. Como vai?
Antes de resolver essa questão para você, preciso de esclarecer que existe um entendimento notável e errado do enunciado dela. Acredito que diversos estudantes se basearam nele e, por isso, não conseguiram resolver o problema proposto. A interpretação incorreta, a qual representei graficamente no anexo 1, considera que há capitais que estão ligadas a apenas algumas das outras. Observe que, no anexo 1, a capital 3 (designada por C3) está conectada a apenas duas das restantes: C2 e C4. Uma interpretação correta do enunciado nos conduz a um outro caso, exibido no anexo 2 e sobre o qual trabalharemos para "matar" essa questão. Tal caso considera que cada capital C se liga a cada uma das outras através de uma única estrada.
Cientes disso, vamos à resolução!
Suponhamos que, inicialmente, dentre as n capitais, estejam as que denominaremos C1 e C5. Podemos representar a estrada que as une (e apenas elas) através do par {C1, C5}. Note que o par {C5, C1}, é igual ao anterior e se refere à mesma estrada. Inferimos, então, que a quantidade total de pares distintos que podemos formar com os elementos do conjunto {C1, C2, C3, ..., Cn} é exatamente igual à quantidade E de estradas que ligam as n capitais (caso do anexo 2). Perceba que estamos trabalhando com uma COMBINAÇÃO, pois a ordem dos elementos do par não importa, visto que, por exemplo, {C1, C5} = {C5, C1}.
Podemos indicar o valor de E assim:
Da equação acima, tem-se que 2E = n² - n.
Sabemos que criação de mais duas capitais (n + 2) exigiu a construção de outras 21 estradas. Ou seja:
(n + 2) . (n + 1) = 2 . (E + 21)
(n + 2) . (n + 1) = 2E + 42 // Lembre-se: 2E = n² - n
(n + 2) . (n + 1) = n² - n + 42
n² + n + 2n + 2 = n² - n + 42 // *Cancelando n² em ambos os lados*
n + 2n + 2 = - n + 42
3n + 2 = - n + 42
3n + n = 42 - 2
4n = 40
n = 40/4
n = 10
Logo, o número de estradas que existiam inicialmente nesse país é 10.
