Todas as afirmativas abaixo estão erradas. Descreva, corrija ou dê um exemplo para mostrar qual é o erro de cada uma. 2. Duas retas que estão num plano são paralelas. 6. Se duas retas são reversas, qualquer plano que passa por uma delas intercepta a outra. 8. Se um plano contém duas retas distintas ambas paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos. 11. A projeção ortogonal de uma sobre um plano é uma reta. 12. A projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano é sempre um triângulo. 13. Se as projeções ortogonais, sobre um mesmo plano de duas retas são paralelas. 15. Por um ponto passam infinitas retas paralelas a uma outra reta. 16. Quatro pontos distintos e não colineares determinam um plano. 20. Retas reversas são retas coplanares sem interseção.
Soluções para a tarefa
Respostas e explicação passo-a-passo:
2. Exemplo: considere o tampo de uma mesa. Este tampo tem infinitas retas, algumas paralelas entre si, outras concorrentes. Se você considerar o canto da mesa, as bordas que se encontram neste canto estão na mesa mas não são paralelas.
6. Considere em uma sala duas retas: uma (r), formada pelo encontro de duas paredes e a outra (s) formada pelo encontro do piso com uma terceira parede. Estas duas retas são reversas. Pela primeira reta (r) passa um plano (α, que é uma das paredes) que é paralelo à reta onde a terceira parede encontra o chão (s). Então, a reta s não intercepta o plano α.
8. Aqui é mais fácil exemplificar:
Considere duas paredes de uma sala, perpendiculares entre si. Em uma delas existe uma janela. Nesta janela, considere duas retas verticais, por exemplo, as laterais da janela. Estas retas definidas pelas laterais da janela são paralelas entre si, paralelas à outra parede, mas a outra parede é perpendicular à parede que contém a janela e não paralela, como afirma o enunciado.
11. A afirmação está incompleta, mas imagino que seja:
"A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta."
A afirmação está incorreta, pois se a reta for perpendicular ao plano, a projeção ortogonal dela sobre o plano será um ponto.
No exemplo da sala, se o chão for o plano de projeções, a reta que é o encontro de duas paredes tem a sua projeção no chão da sala como um ponto.
12. Vamos exemplificar de novo que vai ficar bem fácil de entender:
Considere o chão da sala como o plano de projeções e uma parede da sala, perpendicular ao chão. Se você desenhar na parede um triângulo, a projeção deste triângulo sobre o chão da sala será uma reta e não um triângulo.
13. Para que as projeções de duas retas sejam paralelas, é necessário que elas sejam paralelas entre si. Exemplificando novamente, considere o tampo de uma mesa retangular. Neste mesa, as bordas são retas, paralelas duas a duas e perpendiculares duas a duas. As retas paralelas entre si terão projeções paralelas, já as perpendiculares terão projeções perpendiculares entre si e todas as outras retas que pertençam à mesma e não sejam paralelas entre si (como as diagonais do retângulo) não serão paralelas.
15. Por um ponto (P) fora de uma reta (r) passa apenas uma reta paralela à reta data.
Considere novamente o tampo da mesa do item anterior. A reta r é uma das bordas da mesa. O ponto P é qualquer outro ponto da mesa, por exemplo um dos cantos da mesa, que não esteja na borda que é a reta r. Por este ponto P você pode traçar infinitas retas que pertençam à mesa, mas só uma delas será paralela à reta r.
16. Três pontos distintos e não colineares determinam um plano. O 4º ponto poderá estar fora do plano determinado pelo 3 primeiros.
Considere uma pirâmide de base triangular. Três pontos determinam um plano, que é a base da pirâmide. O 4º ponto é o vértice principal da pirâmide, que não pertence à base.
20. Duas retas reversas, por definição, não têm ponto de interseção. Então, elas não podem ser coplanares.
Como exemplo, considere em uma sala a reta que é o encontro de duas paredes (r). Agora, considere a reta onde uma terceira parede encontre o chão da sala (s). As retas r e s são reversas e, como você pode visualizar, elas não formam um plano.
Resposta:
2. Exemplo: considere o tampo de uma mesa. Este tampo tem infinitas retas, algumas paralelas entre si, outras concorrentes. Se você considerar o canto da mesa, as bordas que se encontram neste canto estão na mesa mas não são paralelas.
6. Considere em uma sala duas retas: uma (r), formada pelo encontro de duas paredes e a outra (s) formada pelo encontro do piso com uma terceira parede. Estas duas retas são reversas. Pela primeira reta (r) passa um plano (α, que é uma das paredes) que é paralelo à reta onde a terceira parede encontra o chão (s). Então, a reta s não intercepta o plano α.
8. Aqui é mais fácil exemplificar:
Considere duas paredes de uma sala, perpendiculares entre si. Em uma delas existe uma janela. Nesta janela, considere duas retas verticais, por exemplo, as laterais da janela. Estas retas definidas pelas laterais da janela são paralelas entre si, paralelas à outra parede, mas a outra parede é perpendicular à parede que contém a janela e não paralela, como afirma o enunciado.
11. A afirmação está incompleta, mas imagino que seja:
"A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta."
A afirmação está incorreta, pois se a reta for perpendicular ao plano, a projeção ortogonal dela sobre o plano será um ponto.
No exemplo da sala, se o chão for o plano de projeções, a reta que é o encontro de duas paredes tem a sua projeção no chão da sala como um ponto.
12. Vamos exemplificar de novo que vai ficar bem fácil de entender:
Considere o chão da sala como o plano de projeções e uma parede da sala, perpendicular ao chão. Se você desenhar na parede um triângulo, a projeção deste triângulo sobre o chão da sala será uma reta e não um triângulo.
13. Para que as projeções de duas retas sejam paralelas, é necessário que elas sejam paralelas entre si. Exemplificando novamente, considere o tampo de uma mesa retangular. Neste mesa, as bordas são retas, paralelas duas a duas e perpendiculares duas a duas. As retas paralelas entre si terão projeções paralelas, já as perpendiculares terão projeções perpendiculares entre si e todas as outras retas que pertençam à mesma e não sejam paralelas entre si (como as diagonais do retângulo) não serão paralelas.
15. Por um ponto (P) fora de uma reta (r) passa apenas uma reta paralela à reta data.
Considere novamente o tampo da mesa do item anterior. A reta r é uma das bordas da mesa. O ponto P é qualquer outro ponto da mesa, por exemplo um dos cantos da mesa, que não esteja na borda que é a reta r. Por este ponto P você pode traçar infinitas retas que pertençam à mesa, mas só uma delas será paralela à reta r.
16. Três pontos distintos e não colineares determinam um plano. O 4º ponto poderá estar fora do plano determinado pelo 3 primeiros.
Considere uma pirâmide de base triangular. Três pontos determinam um plano, que é a base da pirâmide. O 4º ponto é o vértice principal da pirâmide, que não pertence à base.
20. Duas retas reversas, por definição, não têm ponto de interseção. Então, elas não podem ser coplanares.
Como exemplo, considere em uma sala a reta que é o encontro de duas paredes (r). Agora, considere a reta onde uma terceira parede encontre o chão da sala (s). As retas r e s são reversas e, como você pode visualizar, elas não formam um plano.