Question

Todas as afirmativas abaixo estão erradas. Descreva, corrija ou dê um exemplo para mostrar qual é o erro de cada uma.

1. Dado um ponto, por ele passa uma única reta.

2. Duas retas que estão num plano são paralelas.

3. Duas retas que têm um ponto em comum são paralelas.

4. Uma reta e um plano que tem um ponto em comum são concorrentes.

5. Se duas retas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.
6. Se duas retas são reversas, qualquer plano que passa por uma delas intercepta a outra.

7. Se dois planos distintos são paralelos, uma reta de um deles e uma reta de outra podem ser concorrentes.

8. Se um plano contém duas retas distintas ambas paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos.

9. Se dois planos são perpendiculares então, toda reta de um deles é perpendicular ao outro.

10. Se uma reta é perpendicular a uma reta de um plano, então ela é perpendicular ao plano.

11. A projeção ortogonal de uma sobre um plano é uma reta.

12. A projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano é sempre um triângulo.

13. Se as projeções ortogonais, sobre um mesmo plano de duas retas são paralelas.

14. Uma reta tem apenas dois pontos em comum com plano.

15. Por um ponto passam infinitas retas paralelas a uma outra reta.

16. Quatro pontos distintos e não colineares determinam um plano.

17. Três pontos distintos determinam um plano.

18. Duas retas concorrentes determinam infinitos planos. 19. Retas ortogonais são retas que têm um ponto em comum e formam quatro ângulos retos.

20. Retas reversas são retas coplanares sem interseção.

Answer 1

Respostas e explicação passo-a-passo:

1. Por um ponto passam infinitas retas. Considere o canto formado por 2 paredes e o teto de sua sala. Este canto é um ponto e, por ele, passam infinitos pontos, os pertencentes às 3 paredes e uma infinidade de outros, que não pertencem a nenhuma das 3 paredes.

2. Num tampo de uma mesa, que é um plano, considere o ponto que é o encontro de 2 bordas (que são retas). Por este ponto estão passando as duas bordas, que não são paralelas.

3. Mesmo exemplo do item anterior. As retas que se encontram na quina da mesa não são paralelas.

4. A reta que tem um ponto (P) comum com um plano (o ponto onde a reta "fura" o plano) é concorrente com todas as retas que pertencem ao plano e que passam por este ponto P.

5. Considere as duas retas formadas pelo encontro de duas paredes perpendiculares entre si com o teto de uma sala. Estas duas retas são paralelas ao chão da sala (que é um plano) mas não são paralelas entre si.

6. Considere a reta formada pelo encontro de uma parede com o teto de uma sala e a reta formada pelo contro de uma outra parede com o chão da sala. Estas retas são reversas, mas o teto da sala não encontra o chão.

7. Considere todas as retas que pertencem ao teto de uma sala e todas as que pertencem ao chão da sala. Estes dois planos são paralelos e nenhuma das retas do teto pode encontram uma reta do chão.

8. Considere uma parede que contém uma janela e o chão da sala. A janela tem duas retas paralelas entre si e paralelas ao chão da sala (o peitoril da janela e a parte superior da janela), mas a parede não é paralela ao chão.

9. Duas paredes de uma sala são perpendiculares entre si. Todas as retas de uma parede que sejam perpendiculares ao chão e todas as retas da outra parede que sejam perpendiculares ao chão são paralelas à outra parede e não perpendiculares à outra parede.

10. Considere uma diagonal de uma parede que encontra a reta onde uma outra parede encontra o chão. Se as duas paredes se encontrarem e forem perpendiculares entre si, a reta que é a diagonal da parede e a reta que é o encontro da outra parede com o chão são perpendiculares entre si, mas a diagonal não é perpendicular nem à outra parede nem ao chão.

11. Considere a reta formada pelo encontro de duas paredes. A projeção dela sobre o chão é um ponto e não uma reta.

12. Pode ser uma reta, se o triângulo for desenhado sobre uma parede e o plano de projeção for o chão.

13. Se as retas forem concorrentes, a projeção delas poderá ser de retas concorrentes ou coincidentes, mas nunca paralelas.

14. Uma reta tem em comum com um plano apenas um ponto (quando se diz que ela "fura" o plano) ou, se tiver 2 pontos em comum com o plano, terá todos os seus pontos contidos no plano, pois a reta pertencerá ao plano.

15. Por um ponto passa apenas uma reta paralela a outra reta. Pelo canto de uma mesa passa apenas uma reta paralela a uma borda da mesa que não contenha este ponto.

16. Uma pirâmide triangular tem uma base com 3 pontos, que determinam um plano. O vértice principal não pertence à base, está fora do plano.

17. A afirmação está correta.

18. Duas retas concorrentes determinam apenas um plano.

19. Retas ortogonais são retas reversas. Elas formam entre si ângulo de 90º, mas não tem ponto em comum. Considere novamente a sala, as paredes e o chão.

A reta formada pelo encontro de duas paredes e a reta formada pelo chão com uma terceira parede são retas ortogonais.

20. Retas reversas são retas não coplanares. Elas não tem ponto em comum. Para serem retas coplanares sem interseção, elas teriam que ser paralelas.