Question

Toda matriz quadrada possui, associada a ela, um número chamado de determinante da matriz, obtido por meio de operações que envolvem todos os seus elementos. Os determinantes apareceram há cerca de 300 anos (apesar de já existirem esboços do que seriam determinantes na Matemática chinesa de 2000 anos atrás), associada à resolução de equações lineares.


a) Resolva a equação a seguir (apresente os cálculos):

(foto em anexo)

b) Para que valores de x o determinante da matriz A assume valor positivo (apresente os cálculos)?

(foto em anexo)

c) Calcular o determinante da matriz B (apresente os cálculos):
(foto em anexo)

Answer 1

a) O determinante da matriz será D = (x+3)(x-1) - 5

b) x > 1 faz o determinante ser positivo

c) O determinante da matriz B será -30

a) Calculo de uma matriz 2x2

Uma matriz 2x2 é calculada de forma simples como o produto da diagonal principal menos o produto da outra diagonal:

|x+3      5  |

|  1       x-1  |   = (x+3)(x-1) - (5 * 1) = (x+3)(x-1) - 5

Para determinar o valor de x, precisamos saber qual é o resultado esperado para o determinante. Um exemplo disso é no cálculo de autovalores onde o determinante D tem que ser igual a zero (mas este é um tópico mais avançado)

b)  Matriz 3x3 por regra de Sarrus

| 2   4   1    2   4 |

| 2   4   x   2   4 | = 16+12x+2 -16 -2x -12

| 3   1    2   3   1 |

Para encontrar os valores que tornam o determinante positivo, precisamos resolver a equação para encontrar o valor de x que torna o determinante zero.

16+12x+2 -16 -2x -12 = 0  

18 + 12x -28 -2x = 0

10x -10  = 0 ====> x = 1

Como x=1 torna a equação igual a zero, os valores de x > 1 tornam o determinante positivo.

c) Matriz 4x4 por cofatores de Laplace

Segundo o método de Laplace, nós escolhemos uma linha ou coluna para trabalhar. Os elementos dessa linha (ou coluna) serão os coeficientes (a, b, c) que irão multiplicar os cofatores.

Exemplo 3x3 para ilustrar:

| a  b  c |

| d  e  f | ===> a | e f |  - b | d f | + c | d e |

| g  h  i |             | h i |        | g i |       | g h |

O cofator é a submatriz $(-1)^{i+j}M_{ij}$ (ou seja, cada uma das matrizes menores)

Uma maneira intuitiva de ver o sinal de $(-1)^{i+j}$ é montando a matriz abaixo:

| +   -  +  -  +  |        Ao montar o cofator, você observa a

| -   +   -  +   -  |        posição do coeficiente e em seguida,

| +   -   +  -   + |        você o multiplica pelo sinal que  

| -   +   -  +   -  |        ocupa aquela posição.

| +   -   +  -   + |        (como foi o caso do -b no exemplo acima)

No problema proposto, vamos trabalhar com a coluna 1 já que ela tem vários elementos iguais a zero e isso vai simplificar as contas:

| 0     1    2   -1 |

| 2    5   -7    3 |

| 0    3    6    2 |

| 0    0   -3   -1 |

O próximo passo é montar os cofatores

Para isso, eliminamos a linha e a coluna associadas com o coeficiente que estamos trabalhando e multiplicamos o fator pelo cofator.

| 0     1    2   -1 |            

| 2    5   -7    3 |                  | 5   -7    3 |         | 1    2   -1  |        

| 0    3    6    2 |  ===>   0x | 3    6    2 |  -2x | 3    6    2 |  + .....

| 0    0   -3   -1 |                   | 0   -3   -1 |         | 0   -3   -1  |            

Como a primeira matriz tem constante zero, ela se anula.

Você pode resolver esta matriz pela regra de Sarrus (ver o exercício anterior), mas eu vou continuar com a solução por cofatores para ilustrar melhor o processo.

      | 1    2   -1  |  

-2x | 3    6    2 |

      | 0   -3   -1  |    Vamos reduzir esta matriz para 2x2

                             (repare que escolhemos a última linha)

0x   | 2   -1 |  - (-2)(-3)x | 1   -1 | + (-2)(-1)x | 1   2 |

      | 6    2 |                  | 3   2 |                 | 3   6 |

O resultado do determinante será - 30

Para mais exercícios de matrizes e cofatores de Laplace, veja:

https://brainly.com.br/tarefa/43710572

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