Question

Toda função derivável é integrável?

Answer 1

Resposta:

Uma função f : [a, b] → R é integrável se e somente se para todo ε > 0 existe uma partição P de [a, b] tal que S+(f,P) − S−(f,P) < ε. constantes em intervalos são todas as funções com derivada zero e somente aquelas.

Answer 2

Para uma função ser derivável, então ela é suave e contínua.

Seja f : [a, b] → R uma função dada e limitada. Seja F a família de todas as partições de  [a, b]. Dizemos que f é integrável em [a, b] se

$sup_p _\in _F \ S_- (f, p) = inf _p_ \in _F \ S_+ (f, p)$

O valor comum acima é dito integral de f em [a, b] e é denotado pelo símbolo

$\int\limits^a_b {f(x}) \, dx$

Se ela é suave e continua isso ocorre, mas não necessariamente a primitiva é fácil de ser calculada. Mas a área sob a curva é obtida por cálculo numérico, pois satisfaz essas condições.

Apêndice:

Se f:[a,b]→R é contínua, então é integrável

http://calculo.wikidot.com/museu:continua-integravel

Ver também: Um curso de Cálculo Volume 1; Guidorizzi, Hamilton Luiz; 5 edição; página 152.  Teorema. Se f for derivável em p, então f será continua em p. página 525 Teorema. (Integrabilidade das funções contínuas). Se f for contínua em [a,b], então f será integrável em [a,b]

Com esses dois teoremas a resposta é sim toda função derivável é integrável