Question

tô precisando de ajuda urgente. obrigado!!

Answer 1

1.

Pelo teorema da função inversa, temos que a derivada da inversa $f^{-1}(y)$ da função $f(x)$ obedecem à relação:

$(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}$

Sendo $x=\cot y$ a função inversa de $y=\text{arccot }x$, ficamos com:

$\frac{d}{dy}(\cot y)=\frac{1}{y'}$

$-\csc^2y=\frac{1}{y'}$

$y'=-\frac{1}{\csc^2y}$

Sendo $\csc^2y=1+\cot^2y$:

$y'=-\frac{1}{1+\cot^2y}$

Sendo $y=\text{arccot }x$:

$y'=-\frac{1}{1+\cot^2(\text{arccot }x)}$

$\cot(\text{arccot }x)=x$ , logo:

$y'=-\frac{1}{1+x^2}$

2.

Para derivar implicitamente, basta derivarmos ambos os lados da igualdade:

(a)

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y})=\frac{d}{dx}(1)$

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{2x})+\frac{d}{dx}(\frac{1}{y})=0$

$-\frac{1}{2x^2}-\frac{y'}{y^2}=0$

Multiplicando ambos os lados da igualdade por $y^2$:

$-\frac{y^2}{2x^2}-y'=0$

$y'=-\frac{y^2}{2x^2}$

(b)

$\frac{d}{dx}(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{xy})=\frac{d}{dx}(3y^2)$

$\frac{d}{dx}(\sqrt[4]{x})+\frac{d}{dx}(\sqrt[4]{xy})=6yy'$

$\frac{x^{-3/4}}{4}+\frac{d}{dx}(\sqrt[4]{x})\cdot\sqrt[4]{y}+\sqrt[4]{x}\cdot\frac{d}{dx}(\sqrt[4]{y})=6yy'$

$\frac{x^{-3/4}}{4}+\frac{x^{-3/4}}{4}\cdot\sqrt[4]{y}+\sqrt[4]{x}\cdot\frac{y'y^{-3/4}}{4}=6yy'$

$\frac{x^{-3/4}}{4}(1+\sqrt[4]{y})=6yy'-\sqrt[4]{x}\cdot\frac{y'y^{-3/4}}{4}$

$\frac{x^{-3/4}}{4}(1+\sqrt[4]{y})=y'(6y-\frac{\sqrt[4]{x}\;y^{-3/4}}{4})$

$y'=\frac{x^{-3/4}}{4(6y-\frac{\sqrt[4]{x}\;y^{-3/4}}{4})}\cdot(1+\sqrt[4]{y})$

(c)

$\frac{d}{dx}(e^y)=\frac{d}{dx}(x^3+3xy)$

$y'e^y=3x^2+\frac{d}{dx}(3x)\cdot y+3x\cdot y'$

$y'e^y=3x^2+3y+3xy'$

$y'e^y-3xy'=3x^2+3y$

$y'(e^y-3x)=3x^2+3y$

$y'=\frac{3x^2+3y}{e^y-3x}$

3.

Sendo $V=\pi r^2h$ o volume do cilindro, se derivarmos ambos os lados da igualdade em relação ao tempo $t$, obtemos que

$\frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}(\pi r^2h)$

Sendo o volume constante, sua taxa de variação é nula:

$\frac{d}{dt}(\pi r^2h)=0$

$\frac{d}{dt}(\pi r^2)\cdot h+\pi r^2\cdot\frac{d}{dt}(h)=0$

$2\pi rr'\cdot h+\pi r^2\cdot\frac{d}{dt}(h)=0$

$2\pi \cdot 2r'\cdot 5+\pi\cdot2^2\cdot0,4=0$

$20\pi r'+1,6\pi=0$

$20\pi r'=-1,6\pi$

$r'=-0,08\text{ cm/s}$