Question

to com dificuldade pra achar o domínio desa questão √((x-1)/(x+1))

Answer 1

Encontrar o domínio da função

$f(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}$
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Os denominadores não podem ser zero:

$x+1\ne 0~~\Rightarrow~~\boxed{\begin{array}{c}x\ne -1 \end{array}}~~~~~~\mathbf{(i)}$


O radicando não pode ser negativo:

$\dfrac{x-1}{x+1}\ge 0$


Como $x+1\ne 0,$ temos que $(x+1)^{2}>0.$ Multiplicando os dois lados da última desigualdade acima por $(x+1)^{2},$ o sentido se mantém:

$\dfrac{x-1}{x+1}\cdot (x+1)^{2}\ge 0\cdot (x+1)^{2}\\\\\\ (x-1)(x+1)\ge 0~~~~~~\mathbf{(ii)}$


As raízes do lado esquerdo são:

$x_{1}=-1~~\text{ e }~~x_{2}=1$


Como queremos que o lado esquerdo não seja negativo, devemos ter

$x\le x_{1}~~\text{ ou }~~x\ge x_{2}\\\\ \boxed{\begin{array}{c} x\le -1~~\text{ ou }~~x\ge 1 \end{array}}~~~~~~\mathbf{(iii)}$

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Fazendo a interseção entre as condições $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(iii)},$ devemos ter

$\boxed{\begin{array}{c} x< -1~~\text{ ou }~~x\ge 1 \end{array}}$


Portanto, o domínio de $f$ é

$D_{f}=\{x\in \mathbb{R}\left|\,x< -1~\text{ ou }~x\ge 1\right.\}$


ou usando a notação de intervalos,

$D_{f}=(-\infty,\;-1)\cup \left[1,\;+\infty \right ).$