Question

Thomas Simpson, um matemático inglês, foi o criador das regras que possibilitam o cálculo de uma integral por aproximações numéricas. Dentre estas, há a chamada regra dos 3/8, sendo considerada uma das mais eficientes devido à sua precisão. Agora, observe a tabela a seguir:

Answer 1

Resposta: alternativa a).

$\displaystyle\int^{3.5}_{2}ln(x+1)-1\,dx$

Através do método 3/8 de Simpson, considere:

$\displaystyle\int^{b}_{a}f(x)\,dx=\dfrac{3h}{8}\big[f(x_0)+f(x_n)+3[f(x_1)+f(x_2)+f(x_4)+...\,]+2[f(x_3)+f(x_6)+...\,]\big]$

Esse método é semelhante ao método 1/3 de Simpson, com algumas diferenças: multiplicamos a constante h por 3/8; o número de subintervalos tem que ser múltiplo de 3; multiplica-se por três os valores de x em que o índice não é múltiplo de 3 (x₁, x₂, x₄...); e multiplica-se por dois os valores de x que em que o índice é múltiplo de 3 (x₃, x₆, x₉...).

Veja que a questão já nos forneceu os valores da função (descritos na tabela) para cada valor de x, que são:

• f(x₀) = 0.3863
• f(x₁) = 0.5041
• f(x₂) = 0.6094
• f(x₃) = 0.7047

Então nossa única preocupação é jogá-los na fórmula supracitada. ''Mas como chegar nesses tais valores?'' Considere h = (b – a)/3 (divide-se por 3 pois é a qntde de subintervalos que a tabela mostra entre 2 e 3.5), então: h = (3.5 – 2)/3 = 0.5. Desse modo:

• x₀ = 2
• x₁ = 2 + 0.5 = 2.5
• x₂ = 2.5 + 0.5 = 3
• x₃ = 3 + 0.5 = 3.5

E assim, basta substituí-los na função que está sendo integrada de modo a obter os valores de f(x₀), f(x₁), ..., que já temos.

Continuando, recorra à formula para encontrar o valor da integral numérica de f:

$=~~\dfrac{3h}{8}\big[f(x_0)+f(x_3)+3[f(x_1)+f(x_2)]\big]$

$=~~\dfrac{3\cdot0.5}{8}\big[0.3863+0.7047+3(0.5041+0.6094)\big]$

$=~~\dfrac{1.5}{8}\big(1.091+1.5123+1.8282\big)$

$=~~\dfrac{1.5}{8}\big(4.4315\big)$

$=~~\dfrac{6.64725}{8}$

$=~~0.8309$

$\therefore~\boxed{\displaystyle\int^{3.5}_{2}ln(x+2)-1\,dx=0.8309}$

Obs.: x₃ é o único que tem um índice múltiplo de 3, porém não podemos multiplicá-lo por dois já que ele é o último valor e, por isso, devemos seguir a regrinha de somar o primeiro com o último valor da função.

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.