Question

Theóphilo Synphronio gostava de brincar com números e sistemas de numeração de bases diferentes da decimal (base 10). Deste modo, efetuava suas contas financeiras e de contabilidade sempre em bases diferentes da base 10, embora, tivesse que usar a base 10 para registrar e informar a outras pessoas os resultados de suas operações. Certa ocasião, Theóphilo obteve um resultado de uma operação com valor de 254 em uma base não decimal. Ao converter para a base 10, obteve para registro o valor 106. Pede-se que se determine qual o valor da base usada por Theóphilo nesta operação?

Answer 1

Theóphilo fez a operação na base 6.

Vamos chamar a base de base "n".

O número 254, na base n, pode ser expresso por:

$(254)_n = n^0*4 + n^1*5 + n^2*2 = 2n^2 + 5n + 4$

Esse valor 2n² + 5n + 4 já é o valor em decimal.

E, o seu correspondente na base decimal (base 10), 106, pode ser representado por:

$(106)_{10} = 10^0*6 + 10^1*0 + 10^2*1 = 100 + 6 = 106$

Assim, podemos igualar os dois:

2n² + 5n + 4 = 106

2n² + 5n - 102 = 0

Aplicando Bháskara:

Δ = b² - 4ac = 5² + 4*2*102 = 25 + 816 = 841

n = (-5 ± 29)/4

n = - 8,5

n = 6

n deve ser inteiro e positivo, logo n = 6.

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