Question

The locus of the foot of perpendicular drawn from the centre of the ellipse x² + 3y² = 6 on any tangent to it is:

A) (x² - y²)² = 6x² + 2y²
B) (x² - y²)² = 6x² - 2y²
C) (x² + y²)² = 6x² + 2y²
D) (x² + y²)² = 6x² - 2y²

Answer 1

I'll answer it only in portuguese, OK?!

Então, vamos escrever a equação da elipse

$x^2+3y^2=6$

divide tudo por 6

$\frac{x^2}{6}+\frac{3y^2}{6}=1$

$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$

Agora se desenharmos essa elipse ela terá o centro no ponto (0,0)

os seus eixos são

$a=(\pm\sqrt{6},0)~~e~~b=(0,\pm\sqrt{2})$

Agora vamos isolar o $x^2$ na primeira equação da elipse da equação.

$x^2+3y^2=6\Rightarrow x^2=6-3y^2$

Agora vamos ter que substituir uma por uma, nas alternativas...

Eu já vou substituir direto na correta, mas você teria que substituir em cada uma das alternativas e encontrar os pontos e ver se eles eram tangentes.

$(x^2+y^2)^2=6x^2+2y^2$

$(6-3y^2+y^2)^2=6*(6-3y^2)+2y^2$

Dai vamos encontrar 4 raízes

$\boxed{y_1=y_2=0~,~y_3=\sqrt{2}~~e~~y_4=-\sqrt{2}}$

Agora é só substituir esses pontos em y e ver quais são os valores possíveis...

$x^2=6-3y^2$

Para y=0

$x^2=6\Rightarrow x=\pm\sqrt{6}$

Olhe um dos noss pontos

$a=(\pm\sqrt{6},0)$

Então nesse ponto ele é tangente.

Para $y=\pm\sqrt{2}$

$x^2=6-3*2\Rightarrow x=0$

$b=(0,\pm\sqrt{2})$

Portanto, a resposta correta é
(Therefore, the correct answer is)

$\boxed{\boxed{(x^2+y^2)^2=6x^2+2y^2}}$