Question

Texto da questão
Considere a função f(x) = (2x + 1)/(5x + 4) .
Encontre o valor da derivada da primeira de f(x) em x = -1 .

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \frac{2x + 1}{5x + 4}$

Para derivarmos essa função, é necessário usar a regra de derivação chamada de regra do quociente, ela é dada por:

$\boxed{ \bf \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{ \frac{d}{dx} (f(x)).g(x) - f(x). \frac{d}{dx}(g(x)) }{(g(x)) {}^{2} } }$

Aplicando essa relação temos que:

$\frac{d}{dx} \left( \frac{2x + 1}{5x + 4} \right) = \frac{ \frac{d}{dx}(2x + 1).(5x + 4) - (2x + 1). \frac{d}{dx}(5x + 4) }{(5x + 4) {}^{2} } \\ \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{2x + 1}{5x + 4} \right) = \frac{2.(5x + 4) - (2x + 1).5}{(5x + 4) {}^{2} } \\ \\\frac{d}{dx} \left( \frac{2x + 1}{5x + 4} \right) = \frac{10x + 8 - 10x - 5}{(5x + 4) {}^{2} } \\ \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{2x + 1}{5x + 4} \right) = \frac{3}{(5x + 4) {}^{2} }$

Pronto, agora é só calcular o valor da derivada quando x = -1:

$\frac{df(1)}{dx} = \frac{3}{(5.(-1 )+ 4) {}^{2} } \longrightarrow \frac{df(1)}{dx} = \frac{3}{-1} \\ \\ \boxed{ \frac{df(1)}{dx} = -3}$

Espero ter ajudado