Question

Texto Base Você estudou, nessa disciplina de Matemática Financeira, Valor Presente – Financiamento com e sem entrada, condições especiais de financiamento, Valor Futuro – Investimento, em todos esses assuntos a taxa de juros compostos é necessária para se obter os resultados esperados. Mas também foi estudado a Determinação de Taxa de Juros Compostos no Valor Presente e no Valor Futuro e em ambas as situações o método de cálculo apresentado foi o Newton-Raphson. Enunciado Defina o Método de Newton-Raphson.

Answer 1

Em análise numérica, o método de Newton (ou método de Newton-Raphson) tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, toma-se um ponto qualquer do domínio da função, calcula-se a equação da tangente (derivada) da função nesse ponto, calcula-se o intercepto da tangente ao eixo das abscissas a fim de encontrar um novo ponto do domínio da função e repete-se o processo, que deve tender a uma das raízes da função rapidamente, ou não tender a nada, deixando isso claro logo. Em notação matemática representa-se desta forma:

,

Onde n indica a n-ésima iteração do algoritmo e  é a derivada da função f em xn.

Para que se obtenha sucesso na iteração deve-se primeiramente delimitar um intervalo, a fim de escolher um valor estimado inicial adequado, para que a convergência de (xn) seja propícia. Para tanto existem apenas quatro condições a serem satisfeitas:

O intervalo delimitado deve conter a raiz de f; A função f deve ser diferençável em todo o intervalo; A primeira derivada no intervalo não deve trocar de sinal; A segunda derivada no intervalo não deve trocar de sinal.

Uma vez delimitado um intervalo que cumpra tais exigências, escolhe-se para o valor-inicial o ponto mais à esquerda se o produto da primeira pela segunda derivada for negativo, ou escolhe-se o ponto mais à direita se ocorrer o contrário, se o produto for positivo.

Este é considerado por muitos autores o melhor método para encontrar sucessivas melhores aproximações de raízes (ou zeros) de uma determinada função real. A convergência frequentemente é rápida, em especial se a estimativa inicial (ou chute inicial) está "suficientemente próximo" da raiz da função