Question

Texto base:

Dada a reta r e o plano π:

r: x = (1, 0, 1) + λ (2, 1, 3) π: x + y + z = 20

Obtenha o ponto de interseção da reta com o plano π.
Assinale a alternativa correta.


Alternativas:

a) P = (2, 3, 1)

b) P = (0, 1, 1)

c) P = (3, 1, 3)

d) P = (0, 4, 2)

e) P = (3, 1, 4)

Answer 1

É dada a equação vetorial da reta

     $\mathsf{r:~(x,\,y,\,z)=(1,\,0,\,1)+\lambda(2,\,1,\,3)\qquad com~\lambda\in\mathbb{R}}$


Podemos obter as equações paramétricas da reta:

     $\mathsf{r:~(x,\,y,\,z)=(1,\,0,\,1)+(2\lambda,\,\lambda,\,3\lambda)}\\\\ \mathsf{r:~(x,\,y,\,z)=(1+2\lambda,\,\lambda,\,1+3\lambda)}\\\\\\ \mathsf{r:}~\left\{\begin{array}{l} \mathsf{x=1+2\lambda}\\ \mathsf{y=\lambda}\\ \mathsf{z=1+3\lambda} \end{array}\right.$


Para encontrar o ponto de interseção da reta r com o plano

     $\mathsf{\pi:~x+y+z=20}$


basta substituir as equações paramétricas na equação do plano:

     $\mathsf{(1+2\lambda)+(\lambda)+(1+3\lambda)=20}\\\\ \mathsf{2\lambda+\lambda+3\lambda=20-1-1}\\\\ \mathsf{6\lambda=18}\\\\ \mathsf{\lambda=\dfrac{18}{6}}$

     $\mathsf{\lambda=3}$        ✔


e as coordenadas do ponto procurado são

     $\mathsf{x=1+2\lambda}\\\\ \mathsf{x=1+2\cdot 3}\\\\ \mathsf{x=1+6}$

     $\mathsf{x=7}$        ✔


     $\mathsf{y=\lambda}$

     $\mathsf{y=3}$        ✔


     $\mathsf{z=1+3\lambda}\\\\ \mathsf{z=1+3\cdot 3}\\\\ \mathsf{z=1+9}$

     $\mathsf{z=10}$        ✔


O ponto encontrado é P = (7, 3, 10), que não corresponde a nenhuma das alternativas. Favor verificar o enunciado digitado nesta tarefa.

Você pode perceber também que nenhum dos pontos dados como alternativa tem a soma de suas coordenadas igual a 20. Assim, de qualquer forma, nenhuma alternativa poderia estar correta.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)