Question

$y = {x}^{ {x}^{x} }$
alguém pode ajudar-me a derivar esta expressão.

explique passo a passo. ​

Answer 1

y   =  x^x^x

ln y = ln x^x^x

ln y= x^x * ln x

y =e^(x^x*ln x)

y' =(x^x*ln x)' * e^(x^x*lnx)

y' [(x^x)' * ln x +x^(x)* (1/x)] * e^(x^x*ln x)

******************************************************

g=x^x

ln g =ln x^x

ln g =x*ln x

g=e^(x*ln x)

g'=(x*ln x)' * e^(x*ln x)

g'=[1*ln x+ x*(1/x) * e^(x*lnx)

g'=[lnx+1]* x^x

(x^x)'=[lnx+1]* x^x

******************************************************

y' =[(x^x)' * ln x +x^(x)* (1/x)] * e^(x^x*ln x)

y' =[[lnx+1]* x^x* ln x +x^(x)* (1/x)] * e^(x^x*ln x)

y' =[[lnx+1]* x^x* ln x +x^(x-1)] * e^(x^x*ln x)

y' =[[lnx+1]* x^x* ln x +x^(x-1)] * e^(x^x*ln x)

y' =[(x^x)ln²x+x^x* ln x +x^(x-1)] * (x^x^x)

A resposta está Certa, não está errada

Arrumando  

y'=x^(x^x+x) *[ln²x+ ln x +x^(x-1)/(x^x)]  

y'=x^(x^x+x) *[ln²x+ ln x +x^(-1)]  

y'=x^(x^x+x) *[ln²x+ ln x +x^(-1)]  

y'=x^(x^x+x) *[ln²x+ ln x +1/x]

viu , fica igual.....é mais certa na verdade ...a resposta  de cima esqueceu de fechar os colchetes.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Cálculo da derivada :

Têm-se a função :

$\mathsf{y~=~x^{x^x} }$

Perceba @Fernando , esta é uma questão pouco complexa , e obriga o dominio da matemática básica , por tanto não vou entrar muito em detalhes da matemática básica , mas vamos lá !

Aplicando Logaritmos em ambos membros teremos :

$\mathsf{ln(y)~=~ln\Bigg( x^{x^x} \Bigg) }$

De seguida vamos aplicar a propriedade da potência no logaritmo :

$\mathsf{ ln(y)~=~x^x.ln(x) }$

Agora vamos aplicar os logaritmos em ambos os membros da função :

$\mathsf{ ln[ln(y)]~=~ln[x^x.ln(x)] }$

Lembremos que o produto do logaritmo é a soma dos logarítmos :

$\mathsf{ ln[ln(y)]~=~ln\Big(x^x\Big)+ln[ln(x)] }$

Aplicando novamente a propriedade da potencia :

$\mathsf{ln[ln(y)]~=~xln(x)+ln[ln(x)] }$

$\mathsf{{\color{blue}{\dfrac{d}{dx}}}.ln[ln(y)]~=~{\color{blue}{\dfrac{d}{dx}}}.\{xlnx+ln[ln(x)]\} }$

$\mathsf{\dfrac{d}{dx}.\dfrac{\frac{1}{y}}{ln(y)}~=~ln(x)+\cancel{x}.\dfrac{1}{\cancel{x}}+\dfrac{\frac{1}{x}}{ln(x)} }$

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}.\dfrac{1}{yln(y)}~=~ln(x)+1+\dfrac{1}{xln(x)} }$

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}~=~yln(y).[ln(x)+1+\dfrac{1}{xln(x)} }$

Lembre que :

$\boxed{\mathsf{y~=~x^{x^x} }}}}$

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}~=~x^{x^x}.ln\Bigg( x^{x^x} \Bigg) . [ln(x)+1+\dfrac{1}{xln(x)} }$

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}~=~x^{x^x}.x^x.ln(x).[ln(x)+1+\dfrac{1}{xln(x)} ] }$

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}~=~x^{x^x+x}.\{[ln(x)]^2+ln(x)+\cancel{ln(x)}.\dfrac{1}{x\cancel{ln(x)}} \} }$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dy}{dx}~=~x^{x^x+x}.[ln^2(x)+ln(x)+\dfrac{1}{x} ] }}}}$

Espero ter ajudado bastante!)