Question

$x+2=\sqrt{x^2+2\sqrt{4x^{2} +8x+2} }$
Explicação passo a passo por favor

Answer 1

Primeiro elevamos ao quadrado para remover a raiz:

$(x+2)^2 = x^2 + 2 \sqrt{4x^2 + 8x + 2}$

Em seguida, deixamos todos os termos de um lado e a raiz do outro para novamente elevarmos ao quadrado e remover a última raiz:

$(x+2)^2-x^2 = 2 \sqrt{4x^2 + 8x + 2} \\[3ex]4x + 4 = 2\sqrt{4x^2 + 8x + 2} \\[3ex]2(x+1) = \sqrt{4x^2 + 8x + 2} \\[3ex]4(x+1)^2 = 4x^2 + 8x + 2$

Agora basta resolver a equação:

$4x^2 + 8x + 4 = 4x^2 + 8x + 2 \\[3ex]4 = 2$

Como essa última equação é falsa, a equação original não possui solução.

Obs.: Nesse tipo de equação, mesmo quando "obtemos" uma solução no final do processo, é necessário verificar se tal resposta é de fato uma solução. Isso acontece porque elevar a potencias pares pode potencialmente inserir novas raízes na equação. Por exemplo:

A equação x = 1 tem apenas a solução 1 para x. Ou seja, esse é o único valor de x que torna a expressão verdadeira.

Já a equação x² = 1 tem as soluções x = 1 e x=-1. Ambos os valores de x tornam a expressão verdadeira.

Assim, ao elevarmos a equação x = 1 ao quadrado, acrescentamos a raiz -1. Por isso sempre há a necessidade de verificar ao final do processo.