Question

$(x -2 \div x - 3) \geqslant 0$
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Answer 1

Temos a seguinte inequação quociente:

$\frac{x - 2}{x - 3} \geqslant 0$

Para resolver essa inequação devemos fazer "vários" processos antes de chegar ao resultado, primeiramente devemos observar o domínio dessa fração. Sabemos que o denominador de uma fração não pode ser igual a "0", pois a divisão por "0" não é determinada, então:

$x - 3 \neq 0 \longrightarrow x \neq 3$

Sabemos que "x" deve ser diferente de 3. Agora vamos nomear a função do numeador e a função do denominador:

$f(x) = x - 2 \: \: e \: \: g(x) = x - 3$

Após nomear as funções, devemos encontrar as as raízes das mesmas, ou seja, igualar a 0:

$x - 2 = 0 \: \: \: e \: \: \: x - 3 = 0 \\ x = 2 \: \: \: e \: \: \: x = 3$

Se plotarmos a função em um gráfico, vamos ver que as duas tratam-se de retas e que:

$f(x) = x - 2 \longrightarrow \begin{cases}x > 2 \to positivo \\ x = 2 \to nulo \\ x < 2 \to negativo \end{cases} \\ \\ f(x) = x - 3 \longrightarrow \begin{cases}x > 3\to positivo \\ x = 3 \to nulo \\ x < 3 \to negativo \end{cases}$

Dispondo essas informações em um quadro de sinais, teremos que:

$\boxed{ \boxed{ \begin{array}{c|r |r| r }f(x)& -& +& + \\ \\ g(x)& - & -& + \\ \\ \frac{f(x)}{g(x)} & +& - & + \\ & & &\end{array} }}\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 2 \: \: \: \: \: 3 \: \: \: \: \: \:$

Como nós queremos os valores maiores ou iguais a "0", trata-se então de valores positivo (+), observando o quadro de sinais, os valores positivos são dado pelos seguintes intervalos:

$S = \left \{ x \in \mathbb{R}/x \leqslant 2 \: \: ou \: \: x > 3\right \}$

O sinal referente ao x > 3 não é também o sinal de maior ou igual, pois o x não pode ser igual a 3, como foi dito no começo da resolução.

Espero ter ajudado