Question

[tex]usando a tecnica de integracao, calcule por partes \int\limitsx{xlnxdx}

Answer 1

Resposta:

$\int x\ln(x)dx = \frac{x^2(2\ln(x) + 1)}{4} + C$

Explicação passo a passo:

Bom, vamos relembrar que a integral por partes é dada por

                            $\int f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)dx$

Como queremos resolver  $\int x\ln(x)dx$ por partes, vamos chamar x  = f'(x) e   ln(x) = g(x), assim temos que

$f'(x) = x \Rightarrow f(x) = \frac{x^2}{2}$ e  $g(x) = \ln(x) \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{x}$

Portanto

         $\int x\ln(x)dx = \frac{x^2\ln(x)}{2} - \int\frac{x^2}{2x}dx = \frac{x^2\ln(x)}{2} - \frac{1}{2}\int xdx = \frac{x^2\ln(x)}{2} -\frac{x^2}{4} + C$