Question

$Um \ poliedro \ tem \ 14 \ v\acute{e}rtices \ . \ Em \ 6 \ desses \ v\acute{e}rtices \ concorrem \ 4 \\ arestas \ , \ em \ 4 \ desses \ v\acute{e}rtices \ concorrem \ 3 \ arestas \ e \ , \ nos \ demais \\ v\acute{e}rtices \ , \ concorrem \ 5 \ arestas \ . \ O \ n\acute{u}mero \ de \ faces \ desses \ poliedros \\ \acute{e} \ igual \ a \ : \\ \\ a) 16 \\ b) 18 \\ c) 24 \\ d) 30 \\ e) 44$

Answer 1

De fato, é realmente complicado tentar imaginar o poliedro do enunciado. Às vezes, tentar fazê-lo não é a melhor saída. Como enunciado forneceu vários dados numéricos, pode ser que seja interessante partir para um procedimento mais algébrico que geométrico. Entretanto, para conseguirmos começar a questão, vamos precisar partir de um argumento geométrico simples sobre as arestas a fim de relacionarmos os valores dados, para, então, partimos para um restante de solução puramente algébrico.

O enunciado fornece o número de arestas que "sai" de cada vértice. Lembre que uma aresta une exatamente 2 vértices. Note, portanto, que se somarmos o número arestas que passa por cada vértice, obteremos exatamente o dobro de arestas do poliedro. Cada aresta seria contada duas vezes, uma para cada vértice que liga. Dessa maneira, se A é o número de arestas do poliedro:

$2A=6\cdot4+4\cdot3+(14-6-4)\cdot5\\\\ 2A=6\cdot4+4\cdot3+4\cdot5\\\\ 2A=24+12+20\\\\ 2A=56\\\\ A=\dfrac{56}{2}\\\\ A=28~\text{arestas}$

Agora, dado que temos o número de vértices (V) e o número de arestas (A) do poliedro, podemos usar a Relação de Euler para encontrarmos o número de faces (F):

$V-A+F=2\\\\ 14-28+F=2\\\\ -14+F=2\\\\ F=2+14\\\\ \boxed{F=16~\text{faces}}\Longrightarrow\text{Letra A.}$