Question

$tg(arcsen(1/5))$ não é a resp de calculadora. me ajudem o mais rápido possível por favor

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\tan\left({\arcsin\left({\dfrac{1}{5}\right)}\right)=\dfrac{\sqrt{6}}{12}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para calcularmos o valor de $\tan\left({\arcsin\left({\dfrac{1}{5}\right)}\right)$, devemos relembrar algumas propriedades.

Sabemos que a tangente pode ser escrita como a razão entre as funções seno e cosseno, da seguinte forma:

$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, na qual $\alpha$ pode assumir quaisquer valor diferente de $\dfrac{\pi}{2}+k\cdot \pi$, com $k\in\mathbb{Z}$.

Logo, reescreva o que queremos calcular nesta forma:

$\tan\left({\arcsin\left({\dfrac{1}{5}\right)}\right)=\dfrac{\sin\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right)}{\cos\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right)}$

Então, lembre-se que a função $arcsin{x}=\sin^{-1}{x}$, logo pela identidade entre funções inversas, temos que $\sin\left({\arcsin{x}\right)}=x$.

Isto significa que

$\tan\left({\arcsin\left({\dfrac{1}{5}\right)}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{1}{5}\right)}{\cos\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right)}$

Para calcularmos $cos\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right)$, utilizaremos a equação fundamental:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha=1$, que é definida para qualquer valor de $\alpha$

Substitua o valor que buscamos

$\sin^2\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right) + \cos^2\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right)=1$

Da mesma forma anterior, substitua $\sin^2\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right) =\left(\dfrac{1}{5}\right)^2$

$\left(\dfrac{1}{5}\right)^2 + \cos^2\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right)=1$

Calcule a potência

$\dfrac{1}{25} + \cos^2\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right)=1$

Subtraia $\dfrac{1}{25}$ em ambos os lados da equação

$\cos^2\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right)=1-\dfrac{1}{25}$

Calcule a soma de frações

$\cos^2\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right)=\dfrac{25-1}{25}$

Some os valores

$\cos^2\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right)=\dfrac{24}{25}$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados da equação

$\cos\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right)=\pm\sqrt{\dfrac{24}{25}}$

Sabemos que $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ pode ser reescrita como $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, para todo $b\neq0$, logo

$\cos\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right)=\pm{\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

Simplifique as raízes, sabendo que $24=2^3\cdot 3$ e $25=5^2$

$\cos\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right)=\pm{\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$

Como $\dfrac{1}{5}$ é um arco do 1° quadrante, consideramos a solução positiva

$\cos\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{5}\right)\right)=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$

Por fim, substituamos na expressão que tínhamos anteriormente

$\tan\left({\arcsin\left({\dfrac{1}{5}\right)}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{1}{5}\right)}{\left(\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\right)}$

Calcule a fração de frações, mantendo a primeira e multiplicando-a pelo inverso da segunda, dessa maneira:

$\tan\left({\arcsin\left({\dfrac{1}{5}\right)}\right)=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{5}{2\sqrt{6}}$

Ficamos com

$\tan\left({\arcsin\left({\dfrac{1}{5}\right)}\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{6}}$

Racionalize o denominador, multiplicando tanto o numerador quanto o denominador por $\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

$\tan\left({\arcsin\left({\dfrac{1}{5}\right)}\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{6}}\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\\\\\\ \tan\left({\arcsin\left({\dfrac{1}{5}\right)}\right)=\dfrac{\sqrt{6}}{2\cdot 6}$

Multiplique os valores

$\tan\left({\arcsin\left({\dfrac{1}{5}\right)}\right)=\dfrac{\sqrt{6}}{12}$

Este é o valor que buscávamos.