Question

$\texttt{Simplifique a fun\c{c}\~ao:}\\\\\fbox{\fbox{ \frac{f(x)-f(p)}{x-p} }},~~~(x \neq p)\\\\\\ \texttt{Dado:}~f(x)= \frac{1}{x}~~e~~p=1\\\\\\\texttt{Gabarito:} -\large\frac{1}{x}$

Answer 1

$f(x)=\dfrac{1}{x}$


e queremos computar o quociente

$\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}$

com relação ao ponto $p=1:$


•   Calculando $f(p)=f(1):$

$f(p)\\\\=f(1)\\\\=\dfrac{1}{1}\\\\\\=1$


•   Agora, computamos o quociente:

$\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}\\\\\\ =\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\\\\\\ =\dfrac{\frac{1}{x}-1}{x-1}\\\\\\ =\dfrac{\left(\frac{1}{x}-1 \right )\cdot x}{(x-1)\cdot x}\quad\quad\text{(pois }x\ne 0)\\\\\\ =\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-1\cdot x}{(x-1)\cdot x}\\\\\\ =\dfrac{1-x}{(x-1)\cdot x}\\\\\\ =\dfrac{-1\cdot (x-1)}{(x-1)\cdot x}$


Simplificando o fator comum $(x-1),$

$=-\,\dfrac{1}{x}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=-\,\dfrac{1}{x} \end{array}}$


para $x\ne 0$ e $x\ne 1.$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Simplificação de Funções :

Dada a função :

$\mathsf{\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p} }$

$\mathsf{f(x)~=~\dfrac{1}{x}~;e~p~=~1 }$

Para Simplificar a função basta efectuar , as devidas substituições :

$\mathsf{F~=~\dfrac{\frac{1}{x}-1}{x-1} }$

Perceba que temos fracção d'uma fracção ,vamos efectuar o mínimo múltiplo comum no numerador :

$\mathsf{F~=~\dfrac{\frac{1-x}{x}}{x-1} }$

Note que temos divisão entre duas fracções , vamos copiar a primeira e vamos multiplicar pelo inverso da segunda :

$\mathsf{F~=~\dfrac{1-x}{x}.\dfrac{1}{x-1} }$

Note que : x - 1 = -1 + x :

$\mathsf{F~=~\dfrac{1-x}{x}.\dfrac{1}{-1+x} }$

Veja também que : -1 + x = -1(1 - x) , aplicando :

$\mathsf{F~=~\dfrac{\cancel{(1-x)}}{x}.\dfrac{1}{-1\cancel{(1-x)}}}$

$\mathsf{F~=~\dfrac{1}{x}.\Big(-\dfrac{1}{1} \Big) }$

$\mathsf{\red{F~=~-\dfrac{1}{x} }}$

Espero ter ajudado bastante!)