Question

$\texttt{Princ\'ipio fundamental da contagem.}\\\\ \texttt{Quantos divisores positivos tem o n\'umero:}\\\\\ \fbox{\fbox{ N=2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d }}$

Answer 1

Se o número $N$ é decomposto na forma

$N=2^a\cdot 3^b\cdot 5^c\cdot 7^d$


então, todos os números da forma

$k=2^w\cdot 3^x\cdot 5^y\cdot 7^z$

onde

$w\in\{0,\,\ldots,\,a\}\\\\ x\in\{0,\,\ldots,\,b\}\\\\ y\in\{0,\,\ldots,\,c\}\\\\ z\in\{0,\,\ldots,\,d\}$

são os divisores positivos de $N$

________

Observe que

se $w\in\{0,\,\ldots,\,a\},$ então temos $(a+1)$ possibilidades para o expoente $w.$

De forma análoga, temos

$(b+1)$ possibilidades para o expoente $x;$

$(c+1)$ possibilidades para o expoente $y;$

$(d+1)$ possibilidades para o expoente $z.$


Pelo princípio fundamental da contagem, o número total de números na forma

$k=2^w\cdot 3^x\cdot 5^y\cdot 7^z$

é

$(a+1)\cdot (b+1)\cdot (c+1)\cdot (d+1)$


sendo o resultado do produto acima a quantidade de divisores positivos do número $N.$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Basta somar 1 a cada expoente dos fatores e multiplicar logo

$\sf{(a+1)\cdot(b+1)\cdot(c+1)\cdot(d+1)}$ divisores.